Question

(x^2-x+a)/(x^2-2x+a^2-6a)=0 при каких значениях а данное уравнение будет иметь 2 различных корня?

Answer 1

Ответ:

$a\in(-\infty, a_0)\cup(a_0,0)\cup(0,1/4)$, где $a_0\approx-0.16$

Пошаговое объяснение:

В числителе стоит квадратный трёхчлен, у него может быть не более 2 корней. Значит, чтобы у уравнения было ровно 2 различных корня, числитель должен иметь 2 корня, и ни один из корней числителя не должен быть корнем знаменателя.

У числителя два неравных корня, если дискриминант больше нуля:

$D=1-4a>0$

Найдём, при каких a хотя бы какой-то корень числителя является корнем знаменателя:

$x^2-x+a=x^2-2x+a^2-6a=0\\\begin{cases}x=a^2-7a\\x^2-x+a=0\end{cases}$

Подставляем найденный x в уравнение:

$a^2(a-7)^2-a(a-7)+a=0\\a(a^3-14a^2+49a-a+7+1)=0\\a(a^3-14a^2+48a+8)=0$

Один корень (a = 0) находится легко, еще один корень можно выписать по формулам для кубических уравнений или найти графически. Можно показать, что что этот корень $a_0$ единственный и удовлетворяет неравенству 1 - 4a > 0: производная функции $f(a)=a^3-14a^2+48a+8$ равна $f'(a)=3a^2-28a+48$. При a < 1/4 производная положительна, кроме того, $f(0)>0$, $f(-1)$, поэтому f(a) имеет корень на отрезке [-1, 0]. Выражение для $a_0$ довольно-таки громоздкое, по графику $a_0\approx-0.16$

Answer 2

Чтобы уравнение имело два различных корня, его знаменатель (x^2 - 2x + a^2 - 6a) не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.

Рассмотрим знаменатель уравнения: x^2 - 2x + a^2 - 6a = 0

Можно заметить, что это квадратное уравнение относительно переменной x. Чтобы имелось два различных корня, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть положительным, то есть:

D = (-2)^2 - 4(a^2 - 6a) > 0 4 - 4a^2 + 24a > 0 -4a^2 + 24a + 4 > 0

Теперь найдем значения a, при которых это неравенство выполняется. Для этого решим квадратное уравнение:

-4a^2 + 24a + 4 = 0

Используя квадратное уравнение, можно найти два значения a, при которых данное уравнение будет иметь два различных корня.

Здесь мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

a = -4, b = 24, c = 4

D = 24^2 - 4(-4)(4) = 576 + 64 = 640

Так как дискриминант D положителен, у нас есть два действительных корня. Значит, данное уравнение будет иметь два различных корня для всех значений a, при которых -4a^2 + 24a + 4 > 0.