Question

Найти производную функции: y=2x/3x^2-1

Answer 1

y=2x/(3x²-1)

y'=[2(3x²-1)-2x*6x]/(3x²-1)²=

=(6x²-2-12x²)/(3x²-1)²=-2(1+3x²)/(3x²-1)²

Answer 2

Для нахождения производной функции y = (2x) / (3x^2 - 1) воспользуемся правилом дифференцирования частного функций.

Для начала, запишем функцию в виде y = 2x * (3x^2 - 1)^(-1).

Теперь применим правило дифференцирования произведения функций: (d/dx) [u(x) * v(x)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

В нашем случае, u(x) = 2x и v(x) = (3x^2 - 1)^(-1).

Вычислим производные u'(x) и v'(x):

u'(x) = d/dx (2x) = 2.

v'(x) = d/dx [(3x^2 - 1)^(-1)].

Для вычисления производной (3x^2 - 1)^(-1), воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Пусть f(x) = 3x^2 - 1, тогда (3x^2 - 1)^(-1) = f(x)^(-1).

Применим правило дифференцирования сложной функции: (d/dx) [f(x)^(-1)] = -f'(x) / [f(x)^2].

Вычислим производную f'(x): f'(x) = d/dx (3x^2 - 1) = 6x.

Теперь вычислим v'(x): v'(x) = -f'(x) / [f(x)^2] = -6x / [(3x^2 - 1)^2].

Теперь, используя найденные значения u'(x) и v'(x), вычислим производную функции y:

(d/dx) [2x / (3x^2 - 1)] = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x).

= 2 * (3x^2 - 1)^(-1) + 2x * [-6x / (3x^2 - 1)^2].

= 2 / (3x^2 - 1) - 12x^2 / (3x^2 - 1)^2.

Таким образом, производная функции y = (2x) / (3x^2 - 1) равна:

dy/dx = 2 / (3x^2 - 1) - 12x^2 / (3x^2 - 1)^2.