Question

9y"-6y'+y=0 помагите

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

пусть    $\displaystyle y=e^{\lambda x}$

тогда получим уравнение

$\displaystyle 9\lambda ^2e^{\lambda x}+6 \lambda e^{\lambda x}+e^{\lambda x}=0$

поскольку $e^{\lambda x} \neq 0$ , то

$\displaystyle 9\lambda ^2+6 \lambda+1=0$

$\displaystyle (3\lambda +1)^2=0\quad \Rightarrow \lambda _{1,2} = -\frac{1}{3}$

тогда

$\displaystyle y_1(x) = c_1e^{-x/3}, \qquad y_2 = c_2xe^{-x/3}$

$\displaystyle y(x) = y_1(x)+y_2(x) = c_1e^{-x/3}+c_2xe^{-x/3}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами называется линейным уравнением с const. коэффициентами. Чтобы найти его решение, можно использовать метод Характеристического уравнения.

1. Найдем характеристическое уравнение, предполагая, что y имеет вид y=e^(mx), где m - неизвестная константа: Подставим y и его производные в исходное уравнение: 9(e^(mx)) - 6(me^(mx)) + e^(mx) = 0

2. Факторизуем уравнение, выделяя e^(mx): e^(mx)(9 - 6m + 1) = 0

3. Уравнение будет равно нулю, если: a) e^(mx) = 0, но такое не возможно, так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю. b) 9 - 6m + 1 = 0 6m = 10 m = 10/6 m = 5/3

4. Наше характеристическое уравнение имеет один корень m = 5/3, поэтому общее решение будет иметь вид: y(x) = C1e^((5/3)x) + C2e^((5/3)x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения 9y"-6y'+y=0 имеет вид y(x) = C1e^((5/3)x) + C2e^((5/3)x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.