Question

Решить уравнение (относительно x): 2a⋅(a − 2)⋅x = a − 2. Решить неравенство (относительно x): a x − 1 > 3 Решить неравенство (a − 2)·x > a 2 − 4 для любого значения параметра a. Решить неравенство ax2 − 4x − 4 > 0 при всех значениях параметра a.

Answer 1

2a⋅(a - 2)⋅x = a - 2
2а • х = (а - 2)/(а - 2)
2а • х = 1
х = 1 : 2а
х = 1/(2а)

ax - 1 > 3
ах > 3 + 1
ах > 4
х > 4/а

(a - 2) • x > a² - 4
(а - 2) • х > (а + 2)(а - 2)
х > (а + 2)(а - 2)/(а - 2), а ≠ 2
х > а + 2

ax² - 4x - 4 > 0
D = 4² - 4•(-4)•a = 4² + 16a = 16 + 16a = 16(1 + a)
√D = √((16(1 + a)) = 4√(1 + a)
х1 = (4 + 4√(1 + a)) / 2а =
= 4(1 + √(1 + a))/2а = 2(1 + √(1 + a))/а
х2 = (4 - 4√(1 + a)) / 2а =
= 4(1 - √(1 + a))/2а = 2(1 - √(1 + a))/а
1 + a ≥ 0
a ≥ -1
а ≠ 0
(х - 2(1 - √(1 + a))/а) • (х - 2(1 + √(1 + a))/а) > 0
1) х - 2(1 - √(1 + a))/а > 0
х - 2(1 + √(1 + a))/а > 0
х > 2(1 - √(1 + a))/а
х > 2(1 + √(1 + a))/а
1) х - 2(1 - √(1 + a))/а < 0
х - 2(1 + √(1 + a))/а < 0
х < 2(1 - √(1 + a))/а
х < 2(1 + √(1 + a))/а
Но при a ≥ -1; а ≠ 0

Answer 2

1. Решение уравнения: Начнем с уравнения: 2a(a - 2)x = a - 2.

Раскроем скобки: 2a^2 - 4ax = a - 2.

Перенесем все члены в левую часть уравнения: 2a^2 - 4ax - a + 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Чтобы решить его, можно использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где: a = 2a^2, b = -4a, c = -a + 2.

Применим квадратную формулу: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Подставим значения: x = (-(-4a) ± √((-4a)^2 - 4(2a^2)(-a + 2))) / (2(2a^2)).

Упростим: x = (4a ± √(16a^2 + 8a^3 - 16a^2 + 32a^2)) / (4a^2).

x = (4a ± √(24a^2 + 8a^3)) / (4a^2).

x = (4a ± 2a√(6 + 2a)) / (4a^2).

x = (2 ± √(6 + 2a)) / (2a).

Таким образом, решением уравнения 2a(a - 2)x = a - 2 является x = (2 ± √(6 + 2a)) / (2a).

2. Решение неравенства: ax - 1 > 3.

Добавим 1 к обеим сторонам неравенства: ax > 4.

Теперь разделим обе стороны на a (при условии a ≠ 0). Важно отметить, что в этом случае неравенство меняет направление, так как мы делим на отрицательное число (если a < 0) или на положительное число (если a > 0): x > 4/a.

Таким образом, решением неравенства ax - 1 > 3 является x > 4/a (при a ≠ 0).

3. Решение неравенства: (a - 2)x > a^2 - 4.

Раскроем скобки: ax - 2x > a^2 - 4.

Поделим обе стороны на (a - 2). Важно учесть, что мы можем поделить на (a - 2) только при условии a ≠ 2, так как это приведет к делению на ноль: x > (a^2 - 4) / (a - 2) (при a ≠ 2).

Таким образом, решением неравенства (a - 2)x > a^2 - 4