Question

найдите общее решение уравнений (1+y)dx=(x-1)dy. можно пожалуйста с объяснение и без интернета. прошу

Answer 1

(1+у)dx=(x-1)dy

dy/(1+y)=dx/(x-1)

d(y+1)/(1+y)=d(x-1)/(x-1)

Sd(y+1)/(y+1)=Sd(x-1)/(x-1)
ln|y+1|=ln|x-1|+lnC
|y+1|=C*|x-1|

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение первого порядка можно решить с помощью метода разделяющих переменных. Давайте рассмотрим каждую переменную отдельно.

Выражение (1+y)dx означает произведение двух функций: (1+y) и dx. При этом dx можно рассматривать как бесконечно малый элемент приращения x. Аналогично, (x-1)dy означает произведение двух функций: (x-1) и dy, где dy — бесконечно малый элемент приращения y.

Теперь мы можем записать уравнение следующим образом:

(1+y)dx = (x-1)dy.

Для решения этого уравнения нужно разделить на (1+y) и на (x-1):

dx/(x-1) = dy/(1+y).

Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения. Интеграл от dx/(x-1) по переменной x равен ln|x-1| + C1, где C1 — постоянная интегрирования. Интеграл от dy/(1+y) по переменной y равен ln|1+y| + C2, где C2 — постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем:

ln|x-1| + C1 = ln|1+y| + C2.

Мы можем объединить постоянные интегрирования C1 и C2 в одну константу C:

ln|x-1| = ln|1+y| + C.

Используя свойство логарифма, мы можем записать:

ln|x-1| - ln|1+y| = C.

Пользуясь свойством логарифма, разность логарифмов можно записать как логарифм от частного:

ln| (x-1)/(1+y) | = C.

Теперь мы можем избавиться от логарифма, применив экспоненту к обеим частям уравнения:

|(x-1)/(1+y)| = e^C.

Поскольку e^C > 0 (экспонента всегда положительна), модуль можно убрать:

(x-1)/(1+y) = e^C.

Мы можем записать e^C как новую константу K:

(x-1)/(1+y) = K.

Теперь можно решить это уравнение относительно y:

y = -1 - (1/x) + 1/K.

Это общее решение исходного уравнения (1+y)dx = (x-1)dy, где K — произвольная постоянная.