Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2-2, y=2x+1. Нарисуйте графики и заштрихуйте фигуру.

Answer 1

Ответ:

10,7

Пошаговое объяснение:

Требуется вычислить площадь, заключенную между параболой y=x^2-2 и прямой y=2x+1.

Найдем точки пересечения параболы и прямой:

$\[\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = {x^2} - 2\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 - {x^2} + 2 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x + 3 = 0\\y = 2x + 1\end{array} \right.\]% MathType!End!2!1!$

$- {x^2} + 2x + 3=0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = {b^2} - 4a = {2^2} - 4( - 1)*3 = 4 + 12 = 16$

${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

${x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {16} }}{{2*( - 1)}} = \frac{{ - 2 - 4}}{{ - 2}} = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3$

${x_2} = \frac{{ - 2 + \sqrt {16} }}{{2*( -1)}} = \frac{{-2+ 4}}{{- 2}} = \frac{2}{{-2}} =-1$

Подставим x в уравнение:

y₁=7; y₂=-1

Получаем две точки пересечения : (3;7) и (-1;-1)

Пределы интегрирования a=-1, b=3. Площадь фигуры равняется:

$S = \int\limits_{- 1}^3 {(2x + 1) - ({x^2} - 2)dx =} \int\limits_{-1}^3 (-{x^2} + 2x + 3)dx =$

$= - \int\limits_{- 1}^3 {{x^2}dx + } 2\int\limits_{- 1}^3 {x *dx}+3\int\limits_{- 1}^3 {1 *dx}=- \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_{- 1}^3 + 2\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_{- 1}^3+3\left. {\frac{x}{1}} \right|_{ - 1}^3$

$F(3) =- \frac{{{3^3}}}{3} + {3^2} + 3*3 = 9$

$F( - 1) =- \frac{{{{(- 1)}^3}}}{3} + {(-1)^2} + (- 1)*3 =- \frac{5}{3}$

$F(3) - F( - 1) = 9 - (- \frac{5}{3}) = \frac{{32}}{3} \approx 10,7$

Графики прилагаются.

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями, нам нужно найти точки их пересечения и затем интегрировать разность функций по x-координате в пределах этих точек.

Давайте начнем с нахождения точек пересечения. Поставим уравнения в систему и решим их:

y = x^2 - 2 y = 2x + 1

Приравняем правые части:

x^2 - 2 = 2x + 1

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 2x - 3 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 3 и x = -1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения в уравнения и вычислим:

Для x = 3: y = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7

Для x = -1: y = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1

Теперь у нас есть точки пересечения (3, 7) и (-1, -1).

Для построения графика и заштриховки фигуры воспользуемся Python и библиотекой matplotlib:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определяем функции
def f1(x):
    return x**2 - 2

def f2(x):
    return 2*x + 1

# Создаем массив значений x
x = np.linspace(-3, 4, 400)

# Вычисляем значения функций для каждого x
y1 = f1(x)
y2 = f2(x)

# Создаем график
plt.plot(x, y1, label='y = x^2 - 2')
plt.plot(x, y2, label='y = 2x + 1')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5)

# Устанавливаем заголовок и метки осей
plt.title('График функций')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')

# Добавляем легенду
plt.legend()

# Показываем график
plt.show()

После выполнения этого кода вы получите график с заштрихованной фигурой, ограниченной линиями y = x^2 - 2 и y = 2x + 1.