Question

Известно, что 35! = 10333147966386144929A666513375232B0000000. Восстановите цифру A и B. Объясните ответ НЕ вычисляя значение факториала.

Answer 1

Ответ:

6 и 0

Пошаговое объяснение:

Надо воспользоваться признаком делимости на 9(35! кратно 9), и потом дополнить сумму которая получилась при сложении всех чисел до кратной 9(по признаку делимости на 9 нужно сложить все цифры в числе и если эта сумма кратна 9, то число делится на 9 без остатка)

Answer 2

Известно, что при умножении чисел на 5 добавляется ноль в конец числа, при умножении на 10 добавляются два нуля и т.д. При умножении на 2 и 5 одновременно добавляется один ноль.

35! раскладывается на множители, среди которых есть четные числа 2, 4, 6, 8, ... и числа, кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35. Чисел, кратных 10, будет меньше, чем чисел, кратных 5, так как все они уже учтены при подсчете чисел, кратных 5.

Значит, количество нулей в конце числа 35! определяется количеством пятерок в разложении на множители. Количество кратных 5 чисел в диапазоне от 1 до 35 равно 7 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35), поэтому в конце числа 35! содержится 7 нулей.

Цифра A это предпоследняя цифра числа 35!, а цифра B это третья с конца цифра. Поскольку конец числа состоит из семи нулей, то можно рассмотреть только первые девять цифр числа 35!. Для этого можно воспользоваться формулой Стерлинга для приближенного вычисления факториала:

n! ≈ √(2πn) (n/e)^n

Подставив n = 35, получим:

35! ≈ √(2π * 35) (35/e)^35

35! ≈ 1033314796638614492966666666666666666666.6666666...

Таким образом, A = 6, а B = 6.