Question

Сколько существует четырехзначных чисел ,сумма цифр которых чётна?

Answer 1

Ответ : 4 500

Объяснение :

Давайте напишем все случаи четырёхзначного числа, сумма цифр которых чётна ( ч – это четная цифра, н – нечетная цифра):

(4×ч)

ч ч ч ч

(4×н)

н н н н

(2×ч + 2×н)

ч н ч н

ч н н ч

ч ч н н

н ч н ч

н ч ч н

н н ч ч

Теперь на основе всех возможных вариантов записи четырёхзначного числа, сумма цифр которых чётна, узнаем количество цифр, которое можно поставить.

Итак, всего четных цифр существует пять (0, 2, 4, 6, 8), а нечётных тоже пять (1, 3, 5, 7, 9). Их количество мы будем подставлять вместо 'ч' и 'н'. Но, так как число не может начинаться на 0 (иначе это уже будет трёхзначное число), то во всех вариантах записи числа, которое начинается на четную цифру, мы исключаем ноль, и поэтому вариантов первой цифры такого числа будет не 5, а 4.

Теперь записываем количество вариантов каждой цифры в числе:

ч ч ч ч – 4 5 5 5

н н н н – 5 5 5 5

ч н ч н – 4 5 5 5

ч н н ч – 4 5 5 5

ч ч н н – 4 5 5 5

н ч н ч – 5 5 5 5

н ч ч н – 5 5 5 5

н н ч ч – 5 5 5 5

А теперь считаем:

(4 × 5³) + (5^4) + 3(4 × 5³) + (3 × 5^4) = 4500

Answer 2

Первая цифра в четырехзначном числе может быть любой из девяти цифр (от 1 до 9). Оставшиеся три цифры могут быть любыми из десяти цифр (от 0 до 9), поэтому всего существует $9 \cdot 10^3$ четырехзначных чисел.

Теперь нужно найти количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых четна. Для этого можно использовать принцип Дирихле: если в четырехзначном числе сумма цифр четная, то либо все цифры четные, либо все нечетные.

- В случае, когда все цифры четные, первая может быть 2, 4, 6 или 8 (4 варианта), а каждая из оставшихся цифр может быть любой из пяти четных цифр (от 0 до 8, исключая уже использованные 2) – всего $5^3$ вариантов.
- В случае, когда все цифры нечетные, первая цифра может быть 1, 3, 5, 7 или 9 (5 вариантов), а каждая из оставшихся цифр может быть любой из пяти нечетных цифр (от 1 до 9, исключая уже использованные нечетные цифры) – всего $5^3$ вариантов.

Итого, общее количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых четна, равно $4 \cdot 5^3 = 1000$. Ответ: \boxed{1000}.