Question

 В равенстве ** + *** = ****  все цифры заменены звездочками. Восстановите равенство, если известно, что каждое из трех чисел не меняется при перестановке его цифр в обратном порядке,

Answer 1

методом подбора получается както так)  22+979=1001

Answer 2

Первое число должно иметь две цифры, так как если бы оно имело одну цифру, то оно бы не могло быть равным числу, состоящему более чем из двух цифр. Пусть первое число равно $ab$, где $a$ и $b$ - цифры. Тогда второе число равно $ba$ (так как оно не меняется при перестановке цифр в обратном порядке). Третье число должно иметь три цифры. Пусть оно равно $cde$, где $c$, $d$ и $e$ - цифры. Тогда мы можем записать равенство:

$$
ab + ba = cde
$$

или

$$
11(a+b) = 100c + 10d + e
$$

Так как $a$ и $b$ не могут быть равны нулю (в противном случае первое число не имело бы двух цифр), то сумма $a+b$ должна быть равна 9, так как это единственная пара цифр, которые в сумме дают 9. Заметим также, что $c$ не может быть равно нулю (иначе третье число не имело бы трех цифр). Поэтому $c$ должно быть равно 1. Тогда равенство принимает вид:

$$
11(a+b) = 100 + 10d + e
$$

Или

$$
a+b = \frac{100+10d+e}{11}
$$

Так как $a$ и $b$ - цифры, то сумма $a+b$ не может быть больше 18. Мы можем проверить все возможные значения $d$ и $e$, чтобы найти те, которые удовлетворяют условию, и получить:

$$
24 + 42 = 66
$$

Таким образом, мы получаем, что $ab = 24$, $ba = 42$ и $cde = 66$.