Question

Найти общее решение y\'\'- 4y\' + 5y=0

Answer 1

Ответ:

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx

Пошаговое объяснение:

y''- 4y' + 5y=0 - линейное однородное уравнение 2-порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения составим характеристическое уравнение:

λ²-4·λ+5=0 - квадратное уравнение.

D=(-4)²-4·1·5=16-20= -4 = (2·)²

λ₁=(4-2·)/2=2-, λ₁=(4+2·)/2=2+ - комплексные корни.

Тогда корню λ₁=2- соответствуют линейно независимые функции

e²ˣ·sinx и e²ˣ·cosx, каждое из которых является решением заданного уравнения. Поэтому общее решение линейного однородного уравнения имеет вид:

y=C₁·e²ˣ·sinx+C₂·e²ˣ·cosx,

где C₁ и C₂ произвольные постоянные.

Answer 2

Характеристический многочлен: r^2 - 4r + 5 = 0
Дискриминант: D = 4^2 - 4*1*5 = 4 > 0
Корни: r1 = 2 + i, r2 = 2 - i
Общее решение: y(x) = C1*e^(2x)*cos(x) + C2*e^(2x)*sin(x), где C1 и C2 - произвольные постоянные.