Question

Про целые числа m и n известно, что n2/(m + n) – целое число. Докажите, что число m2/(m + n) – тоже целое.

Answer 1

M^/m+n - n^/m+n = (m+n)(m-n)/m+n = m-n  целое
сумма 2 целых- целое

Answer 2

Предположим, что n^2/(m+n) является целым числом. Это означает, что существует целое число k такое, что:

n^2/(m+n) = k

Умножим обе части на (m+n):

n^2 = k(m+n)

Раскроем скобки:

n^2 = km + kn

Вычитаем из обеих частей выражения mn:

n^2 - mn = km + kn - mn

Факторизуем правую часть:

n^2 - mn = k(m - n)

Выражаем m:

m = n(n-m)/(m-n-k)

Мы знаем, что n-m и m-n-k являются разными числами, так как m-n-k < 0, и поэтому знаменатель не может быть равен нулю.

Теперь мы можем выразить m^2/(m+n):

m^2/(m+n) = m(n-m)/(m-n-k+n) = -m(n-m)/(m-n-k)

Мы можем заметить, что м(n-m) является целым числом, а также что знаменатель m-n-k отличен от нуля. Поэтому m^2/(m+n) является целым числом.

Таким образом, мы доказали, что если n^2/(m+n) является целым числом, то m^2/(m+n) также является целым числом.