Question

Integral 1+sinx/(1+cosx+sinx). помогите

Answer 1

Здесь надо воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой:

$\int\limits {\frac{1+sinx}{1+cosx+sinx}} \, dx =\begin{vmatrix}tg\frac{x}{2}=t; \ \ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\ \\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}; \ dx=\frac{2dt} {1+t^2}\end{vmatrix}=\int\limits {\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}} *\frac{2dt} {1+t^2} = \\\\ \\ =2\int\limits {\frac{1+\frac{2t} {1+t^2}}{1+t^2+1-t^2+2t}} \, dt= 2\int\limits {\frac{\frac{1+t^2+2t} {1+t^2}}{2+2t}} \, dt= 2\int\limits {\frac{t^2+2t+1}{2(t+1)(t^2+1)}} \, dx =$

$\int\limits {\frac{(t+1)^2}{(t+1)(t^2+1)}} dt = \int\limits {\frac{t+1}{t^2+1}} dt =\int\limits {\frac{t}{t^2+1}} dt +\int\limits {\frac{1}{t^2+1}} dt =\frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{t^2+1}} d(t^2+1) + \\ \\ +arctgt+C=\frac{1}{2} \ln |t^2+1|+arctgt+C =\begin{vmatrix}t=tg\frac{x}{2} \end{vmatrix}=\\ \\ = \frac{1}{2} \ln |tg^2(\frac{x}{2})+1|+\frac{x}{2} +C$

Можно так ответ и оставить, а можно еще немного упростить:

$\frac{1}{2} \ln |tg^2(\frac{x}{2})+1|+\frac{x}{2} +C = \frac{1}{2} \ln |\frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})}|+\frac{x}{2} +C =\\ \\ =\frac{1}{2} \ln |cos^{-2}(\frac{x}{2})|+\frac{x}{2} +C =\frac{x}{2} - \ln|cos\frac{x}{2} |+C\\ \\ OTBET: \ \frac{x}{2} - \ln|cos\frac{x}{2} |+C$

Answer 2

Для решения этого интеграла можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = 1 + cos(x) + sin(x), тогда дифференциал t равен dt = (-sin(x) + cos(x) + 1)dx.

Выражая sin(x) через cos(x) и t, получаем: sin(x) = t - cos(x) - 1.

Заменяя sin(x) и dt в интеграле, получим:

∫ [1 + sin(x)] / [1 + cos(x) + sin(x)] dx = ∫ [1 + t - cos(x) - 1] / t (-sin(x) + cos(x) + 1) dt

= ∫ [t / (sin(x) - cos(x) - 1)] dt

Далее, производим еще одну замену переменной u = sin(x) - cos(x) - 1. Тогда du = (-cos(x) - sin(x)) dx.

Выражая cos(x) через sin(x) и u, получаем: cos(x) = sin(x) - u - 1.

Заменяя sin(x) и dx в интеграле, получим:

∫ [t / (sin(x) - cos(x) - 1)] dt = ∫ [t / u] (-du / √2) = -√2 ∫ t / u du.

Далее, производим деление и получаем:

-√2 ∫ t / u du = -√2 ∫ (t / √2) / (u / √2) (du / u) = -√2 ln|u / √2| + C.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

∫ [1 + sin(x)] / [1 + cos(x) + sin(x)] dx = -√2 ln|sin(x) - cos(x) - 1 / √2| + C.