Question

Исследовать функцию и построить график f x 2x^3/3+x+2/3

Answer 1

Дано: y = 2/3*x³ + x + 2/3.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) = R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая

2. Пересечение с осью OХ.  

x1 ≈ -0.5535 - нуль функции.

3. Интервалы знакопостоянства.

Y<0 - X∈(-∞;-0.55],  Y>0 - X∈[-0.55;+∞)

4. Пересечение с осью OY. Y(0) = 2/3 =  0,(6)

5. Исследование на чётность.  

Важно: у четных -только чётные степени, у нечётных - только нечётные.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

6. Первая производная.    Y'(x) =  2*x² +1 = 0 ,    х² = - 0,5.

Корней нет.

7. Локальные экстремумы - нет.

8. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает во всем интервале определения.

9. Вторая производная - Y"(x) = 4* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆=0

10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=0; +∞).

11. График в приложении.

Answer 2

Для начала, найдем область определения функции f(x). Знаменатель дроби равен 3, поэтому функция определена для любого значения x.

Теперь выразим производную функции:

f'(x) = (2x^3)'/(3+x+2/3) - (3)/(3+x+2/3)^2 * (2x^3+3x+2)

f'(x) = (6x^2)/(3x+5/3) - (6x^2+9x+6)/(3+x+2/3)^2

f'(x) = [18x^2(3+x+2/3) - (6x^2+9x+6)(3x+5/3)] / (3+x+2/3)^3

f'(x) = (12x^3 + 27x^2 + 54x + 36) / (3+x+2/3)^3

f'(x) = 3(4x^3 + 9x^2 + 18x + 12) / (3+x+2/3)^3

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

4x^3 + 9x^2 + 18x + 12 = 0

x^3 + 9/4 x^2 + 9/2 x + 3 = 0

(x+3/2)(x^2+3/4x+2) = 0

x = -3/2, x = (-3 +/- sqrt(3)i)/4

Так как функция непрерывна и убывает на (-бесконечность; -3/2), возрастает на (-3/2; -3/4), убывает на (-3/4; -3 + sqrt(3)i/4), возрастает на (-3 + sqrt(3)i/4; -3 - sqrt(3)i/4) и опять убывает на (-3 - sqrt(3)i/4; +бесконечность), то точка (-3/2, f(-3/2)) является точкой максимума, а точки (-3 + sqrt(3)i/4, f(-3 + sqrt(3)i/4)) и (-3 - sqrt(3)i/4, f(-3 - sqrt(3)i/4)) являются точками минимума.

Теперь построим график функции f(x):

На графике видно, что точка (-3/2, f(-3/2)) является точкой максимума, а точки (-3 + sqrt(3)i/4, f(-3 + sqrt(3)i/4)) и (-3 - sqrt(3)i/4, f(-3 - sqrt(3)i/4)) являются точками минимума. Также можно заметить, что функция является нечетной, так как f(-x) = (-2x^3/3 - x + 2/3) / (3 - x + 2/3