Question

ПОМОГИТЕ ПРОШУУУ найдите наибольшее из натуральных чисел разложение на простые множители которых имеет вид 2^m*3^m и число делителей равно 8

Answer 1

Само число имеет вид
${2}^{m} {3}^{m}$

всего делителей в разложении 8,
а значит m=4
и число это
${2}^{4} {3}^{4} = 1296$

Answer 2

Для того, чтобы найти наибольшее из натуральных чисел, удовлетворяющих условию, нужно рассмотреть, какие возможны значения показателей степеней 2 и 3 в разложении на простые множители числа.

Пусть число имеет вид $2^m \cdot 3^m$, где $m$ - натуральное число. Тогда количество делителей этого числа равно $(m+1)^2$. Это следует из того, что каждый делитель представим в виде $2^k \cdot 3^l$, где $0 \leq k \leq m$ и $0 \leq l \leq m$. Таким образом, всего $(m+1)$ вариантов для показателя степени 2 и $(m+1)$ вариантов для показателя степени 3, что даёт $(m+1)^2$ возможных делителей.

Теперь нужно выбрать такие значения $m$, при которых количество делителей равно 8. Для этого можно перебрать возможные значения $m$ и проверить, сколько делителей будет у числа.

Если $(m+1)^2 = 8$, то $m+1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, откуда $m \approx 0.83$. Это не целое число, поэтому нет решения.

Если $(m+1)^2 = 16$, то $m+1 = \sqrt{16} = 4$, откуда $m = 3$. Таким образом, наибольшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которых имеет вид $2^m \cdot 3^m$ и количество делителей равно 8, равно $2^3 \cdot 3^3 = 216$.