Question

Доведіть що при будь-ікому натуральному n значення виразу 3^n+2 -2^n+2 +3^n -2^n ділиться націло на 10

Answer 1

на фото...................

Answer 2

При розв'язуванні даної задачі можна скористатися біномомом Ньютона для розкладання виразів в скобках на суму біномів:

(1) $3^n+2 = (2+1)^n+2 = \sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} 2^{n-i} \cdot 1^i \cdot 2^2$

(2) $2^n+2 = (2+0)^n+2 = \sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} 2^{n-i} \cdot 0^i \cdot 2^2$

(3) $3^n-2^n = (3-2)(3^{n-1}+3^{n-2} \cdot 2 + \ldots + 2^{n-1})$

Зауважимо, що для будь-якого $i \geq 2$ число $2^i$ завжди містить дві останні значущі цифри $2^2$. Також, очевидно, що число $1 \cdot 2^2 = 4$ містить дві останні значущі цифри 4.

Отже, кожен доданок виразу (1) містить дві останні значущі цифри 4, а кожен доданок виразу (2) містить дві останні значущі цифри 0. Залишається дослідити вираз (3).

За умовою $n$ є натуральним числом, тому $n \geq 1$, і ми можемо розкрити дужки в виразі (3):

$3^n-2^n = (3-2)(3^{n-1}+3^{n-2} \cdot 2 + \ldots + 2^{n-1}) = 1 \cdot (3^{n-1}+3^{n-2} \cdot 2 + \ldots + 2^{n-1})$

Кожен доданок цієї суми містить множник 2, тому кожен доданок, крім першого, містить дві останні значущі цифри 0. Перший доданок містить множник $3^{n-1}$, який дає дві останні значущі цифри 3 при $n=1$ і дві останні значущі цифри 9 при $n \geq 2$.

Отже, сума трьох виразів (1), (2) і (3) дає число, що містить дві останні значущі цифри 4+0+3=7 при $n=1$ і дві останні значущі цифри 4+0+9=13