Question

Решите неравенства: 1) (1/5)^x ≤ 1/25 (1/5 и 1/25 - это дробь) 2) 2^x - 2^x-4<15 (x-4 Это степень) 3) 3*4^x - 6*2^x -24 > 0

Answer 1

Начнем с переноса всего в левую часть неравенства и приведения дробей к общему знаменателю:

(1/5)^x - 1/25 ≤ 0

(5^-x) - (5^-2) ≤ 0

Заметим, что 5^-x убывает с ростом x, а 5^-2 - постоянная, поэтому неравенство выполнено, если 5^-x ≤ 5^-2, т.е.

x ≥ 2

Перенесем 2^x-4 в левую часть и заметим, что 2^x - 2^x-4 = 2^x*(1-1/16) = 15/16 * 2^x.

Тогда неравенство принимает вид:

15/16 * 2^x < 15

2^x < 16

x < 4

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:

34^x - 62^x - 24 > 0

3*(2^x)^2 - 6*2^x - 24 > 0

(2^x - 4)(32^x + 6) > 0

(2^x - 4)*(2^(x+1) + 2) > 0

Заметим, что 2^(x+1) + 2 > 0 для любого x, а (2^x - 4) меняет знак с положительного на отрицательный при x < 2.

Таким образом, решением неравенства является:

x > 2