Question

Помогите,пожалуйста) ¹₀∫x*7^x dx Интеграл определенный: верх. 1, ниж. 0

Answer 1

******************************************

Answer 2

См. решение в приложенном файле

Answer 3

Для решения данного определенного интеграла мы будем использовать метод интегрирования по частям:

∫udv = uv - ∫v*du,

где u и v - выбранные нами функции для дифференцирования и интегрирования соответственно.

Применяя этот метод к исходному интегралу, мы выбираем u = x и dv = 7^x dx, тогда du/dx = 1 и v = 1/ln(7)*7^x:

∫x*7^x dx = 1/ln(7)x7^x - ∫1/ln(7)*7^x dx,

где первый член в правой части получается из первоначального интеграла при применении метода интегрирования по частям, а второй член вычисляется интегрированием функции 7^x.

Вычислим второй член:

∫1/ln(7)*7^x dx = 1/ln(7)*∫7^x dx = 1/ln(7)*1/ln(7)*7^x + C,

где C - произвольная постоянная интеграции.

Таким образом, полный ответ на задачу:

∫₀¹ x*7^x dx = 1/ln(7)x7^x - 1/ln(7)*1/ln(7)*7^x ∣₀¹

= (1/ln(7)17 - 1/ln(7)*1/ln(7)*7) - (1/ln(7)01 - 1/ln(7)*1/ln(7)*1)

= 1/ln(7)*(7/ln(7) - 1/ln(7))

≈ 0.8915.