Question

Дам 30 баллов . Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведены высота CH, биссектриса CK и медиана CM. Известно, что HK = 3 и KM = 5. Найдите стороны треугольника ABC и длину биссектрисы CK.

Answer 1

• Биссектриса треугольника лежит между его высотой и медианой, которые проведены из той же вершины.

Поэтому K лежит на отрезке MH.

1.

Рассмотри ∠ACH и ∠ABC:

CA⊥BA и CH⊥BH по условию;

∠ACH = ∠ABC, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

• Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Поэтому CM = BM, тогда ΔBMC - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Поэтому ∠MBC = ∠MCB, откуда ∠ACH = ∠MCB (т.к. ∠ACH = ∠MBC).

∠ACK = ∠BCK, как углы при биссектрисе;

∠ACH = ∠MCB;

Тогда ∠ACK - ∠ACH = ∠BCK - ∠MCB;

∠HCK = ∠MCK.

• Биссектриса треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

2.

Рассмотрим ΔMCH:

CK - биссектриса MCH, поскольку ∠HCK = ∠MCK;

Тогда справедливо равенство $\dfrac{CM}{CH} =\dfrac{MK}{KH} =\dfrac{5}{3}$;

Пусть CM = 5x, тогда CH = 3x;

HM = HK+KM = 3+5 = 8;

ΔMCH - прямоугольный (CH⊥MH ⇒ ∠CHM = 90°);

Тогда по теореме Пифагора получим:

CH²+HM² = CM²;

(3x)²+8² = (5x)²;

9x²+64 = 25x²;

64 = 16x²;

x² = 64:16 = 2²;

x = 2.

CM = 5x = 5·2 = 10;

CH = 3x = 3·2 = 6.

3.

CM = BM = MA;

MA = 10;

AB = 2·MA = 2·10 = 20;

AH = MA-HM = 10-8 = 2.

4.

Рассмотрим ΔCHA:

∠CHA = 90°;  AH = 2;  CH = 6;

По теореме Пифагора найдём AC:

AC² = CH²+AH² = 6²+2² = 36+4 = 2²·10;

AC = 2√10.

5.

Рассмотрим ΔABC:

∠ACB = 90°;  AC = 10√2;  AB = 20;

По теореме Пифагора надём BC:

BC² = AB²-AC² = 20²-40 = 400-40 = 6²·10;

BC = 6√10.

6.

Рассмотрим ΔCHK:

∠CHK = 90°;  CH = 6;  HK = 3;

По теореме Пифагора найдём CK:

CK² = CH²+HK² = 6²+3² = 36+9 = 3²·5;

CK = 3√5.

Ответ: AB = 20;  BC = 6√10;  AC = 2√10;  CK = 3√5.

Answer 2

Начнем с построения:

<img src="https://i.ibb.co/5RcRDbV/triangle.png" alt="triangle" border="0">

Заметим, что так как $CH$ - высота, то $\angle HCB = 90^{\circ}$. Также $\angle KCB = \angle ACB/2$, так как $CK$ - биссектриса. Значит, $\angle HCK = \angle HCB + \angle KCB = 90^{\circ} + \angle ACB/2$. Так как $\angle HCK$ и $\angle ACB$ - смежные, то $\angle AKC = 90^{\circ} - \angle ACB/2$.

Теперь заметим, что $MK$ - медиана, значит $AM = 2MK = 10$. Также заметим, что $\triangle AKC$ и $\triangle AMC$ - прямоугольные, значит по теореме Пифагора:

$$\begin{aligned} AC^2 &= AK^2 + KC^2 \\ AM^2 &= AC^2 + CM^2 \end{aligned}$$

Подставим известные значения:

$$\begin{aligned} AC^2 &= AK^2 + KC^2 \\ 10^2 &= AK^2 + KC^2 \\ AM^2 &= AC^2 + CM^2 \\ 10^2 &= AC^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \end{aligned}$$

Также заметим, что $\triangle BHC \sim \triangle ABC$, так как угол $\angle BHC$ является прямым (в $\triangle BHC$ это угол $\angle HCB$) и соответствующие углы $\angle BHC$ и $\angle ABC$ равны. Значит, $\frac{BH}{AB} = \frac{BC}{AC}$, или $BH = \frac{AB \cdot BC}{AC}$.

Так как $HK = 3$, то $BH = BC - HK = BC - 3$, а также $CH^2 + BH^2 = CB^2$ (это теорема Пифагора для $\triangle BHC$). Подставим известные значения:

$$\begin{aligned} BH &= BC - 3 \\ CH^2 + BH^2 &= CB^2 \\ 3^2 + \left(\frac{AB \cdot BC}{AC}\right)^2 &= \left(\frac{BC}{\sin(\angle ABC)}\right)^2 \\ \end{aligned}$$

Теперь можно решить эту систему уравнений и найти значения сторон треугольника $ABC$ и длину биссектрисы $CK$:

\begin{aligned} 10^2 &= AK^2 + KC^2 \\ 10^2 &= AK^2 + \frac{AC^2}{2}\left(1 - \frac{AB^2}{AC^2}\right) \\ BH &= BC - 3 \\ CH^2 + BH^2 &= CB^2 \\ 3^2 + \left(\frac{AB \cdot BC}{AC}\right)^2 &= \left(\frac{BC}{\