Question

При делении числа y на 11 получили остаток 3 запишите наименьшее натуральное значение числа z при котором сумма y+z кратно 11

Answer 1

Обозначим $y+z=11k$, где $k \in \mathbb{N}$. Тогда при делении числа у на 11 получили остаток 3, т.е. имеет место равенство

$y=11z+3$      (*)

$y=11k-z$  - подставляем в (*), получим

$11k-z=11z+3\\ \\ 11k-3=12z\\ \\ z=\dfrac{11k-3}{12}$

Откуда наименьшее значение z будет при $k=9$ равное 8.

Ответ: 8

Answer 2

Пусть $y$ - исходное число, $z$ - искомое число.

Так как $y \equiv 3 \pmod{11}$, то можно записать $y$ в виде $y=11k+3$, где $k$ - целое число.

Тогда сумма $y+z$ будет равна $11k+3+z$.

Чтобы получить число, которое делится на 11, необходимо прибавить к этому выражению некоторое число $m \cdot 11$, где $m$ - целое число. То есть,

$11k+3+z+m \cdot 11 \equiv 0 \pmod{11}$

Упрощая выражение, получим:

$z+m \cdot 11 \equiv 8k \pmod{11}$

Так как наименьшее натуральное значение $z$ мы хотим найти, то положим $m=0$ и получим:

$z \equiv 8k \pmod{11}$

Наименьшее натуральное значение $z$ будет равно $8k$, при котором остаток от деления на 11 будет наименьшим.

Так как $k$ может принимать любое целое значение, то для наименьшего $z$ нужно найти наименьшее $k$, для которого $8k \equiv 0 \pmod{11}$.

Из этого уравнения следует, что $k$ должно быть кратно числу $11/8$. Наименьшее такое целое число $k$ равно 2.

Таким образом, мы нашли, что наименьшее значение $z$, при котором сумма $y+z$ будет кратна 11, равно $8\cdot2=16$.