Question

∫sqrt(x^2-1)/xdx. Помогите решить интеграл и показать способ как его решать. Должно совпасть с ответом sqtr(x^2-1) - arccos(1/x)+C.

Answer 1

$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} dx=[x=\frac{1}{cost},\; dx=\frac{sint}{cos^2t}\, dt,\; x^2-1=\frac{1}{cos^2t}-1=tg^2t]=\\\\=\int \frac{\sqrt{tg^2t}}{1/cost}\cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sint}{cost\cdot \frac{1}{cost}} \cdot \frac{sint}{cos^2t} dt=\int \frac{sin^2t}{cos^2t} dt=\\\\=\int \frac{1-cos^2t}{cos^2t} dt=\int (\frac{1}{cos^2t}-1)dt=tgt-t+C=\\\\=tg(arccos\frac{1}{x})-arccos\frac{1}{x}+C=$

$=[tg(arccosA)=\frac{\sqrt{1-A^2}}{A},\; A=\frac{1}{x},\;1-(\frac{1}{x})^2=\frac{x^2-1}{x^2}]=$

$=\frac{\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}{\frac{1}{x}}-arccos\frac{1}{x}+C=x\cdot \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}-arccos \frac{1}{x}+C=\\\\=\sqrt{x^2-1}-arccos\frac{1}{x}+C\; ;$

Answer 2

Для решения данного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:

∫sqrt(x^2-1)/xdx = ∫1/x * sqrt(x^2-1)dx

Пусть u = ln|x|, dv = sqrt(x^2 - 1)dx. Тогда du = 1/x dx и v = (x^2 - 1)^(1/2).

Применяем формулу интегрирования по частям:

∫sqrt(x^2-1)/xdx = ln|x| * (x^2 - 1)^(1/2) - ∫(x^2 - 1)^(1/2) / x^2 dx

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся заменой x = 1/u, dx = -1/u^2 du:

∫(x^2-1)^(1/2) / x^2 dx = - ∫(1 - u^2)^(1/2) du = -arcsin(u) + C

Заменяем u обратно:

-arcsin(u) + C = -arcsin(1/x) + C

Подставляем это выражение в первоначальное уравнение:

∫sqrt(x^2-1)/xdx = ln|x| * (x^2-1)^(1/2) + arcsin(1/x) + C

Также можно заметить, что arcsin(1/x) = arccos(x^(-1)), поэтому окончательный ответ имеет вид:

∫sqrt(x^2-1)/xdx = sqrt(x^2-1) * ln|x| + arccos(1/x) + C