Question

Найти производную функции: z(x)=ln^2(sin^3(e^2x))P.s 2x-степень е

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи нужно применить правило цепочки (chain rule) и правило производной композиции (product rule) для функций.

Сначала найдём производную внутренней функции:

$$\frac{d}{dx}(\sin^3(e^{2x})) = 3\sin^2(e^{2x})\cos(e^{2x})\cdot2e^{2x}=6e^{2x}\sin^2(e^{2x})\cos(e^{2x}).$$

Затем найдём производную функции $\ln^2(u)$ по правилу производной композиции:

$$\frac{d}{du}(\ln^2(u)) = 2\ln(u)\cdot\frac{1}{u}=\frac{2\ln(u)}{u}.$$

Теперь мы готовы применить правило цепочки для функции $z(x)$:

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}(z(x)) &= \frac{d}{dx}(\ln^2(\sin^3(e^{2x})))\\ &= 2\ln(\sin^3(e^{2x}))\cdot\frac{d}{dx}(\ln(\sin^3(e^{2x})))\\ &= 2\ln(\sin^3(e^{2x}))\cdot\frac{3\sin^2(e^{2x})\cos(e^{2x})\cdot2e^{2x}}{\sin^3(e^{2x})}\\ &= \frac{12e^{2x}\ln(\sin^3(e^{2x}))\sin(e^{2x})\cos(e^{2x})}{\sin(e^{2x})}\\ &= \boxed{12e^{2x}\ln(\sin^3(e^{2x}))\cos(e^{2x})}. \end{aligned}$$

Итак, производная функции $z(x)$ равна $12e^{2x}\ln(\sin^3(e^{2x}))\cos(e^{2x})$.