Question

вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника в точке, делящей гипотенузу на отрезки, длинны которых равны 2 и 3. Найдите радиус вписанной окружности

Answer 1

Ответ: r = 1

Пошаговое объяснение:

отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

т.е. катеты будут равны (2+r) и (3+r)

осталось применить теорему Пифагора)

(2+r)^2 + (3+r)^2 = (2+3)^2

4 + 4r + r^2 + 9 + 6r + r^2 = 25

r^2 + 5r - 6 = 0 по т.Виета

r1 = -6 (не является решением)

r = 1

проверка:

катеты 3 и 4, гипотенуза 5

Answer 2

Пусть треугольник имеет катеты $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Тогда по теореме Пифагора имеем $a^2+b^2=c^2$. Пусть радиус вписанной окружности равен $r$, а точка касания на гипотенузе находится на расстоянии $x$ от начала гипотенузы. Тогда мы можем записать два уравнения:

1. $r+a-x = r+b-x = r$ (так как это расстояние от точки касания до катетов и радиус вписанной окружности)
2. $a+b=c$ (по теореме Пифагора)

Решая первое уравнение относительно $x$, получаем $x=a+b-2r$. Подставляя второе уравнение вместо $c$ и используя выражение для $x$, получаем:

$a+b=\sqrt{a^2+b^2}$ $(a+b)^2 = a^2+b^2$ $a^2+2ab+b^2=a^2+b^2$ $2ab=b^2-a^2$ $ab=\frac{b^2-a^2}{2}$

Используя формулу для площади треугольника $S=\frac{1}{2}ab$, мы можем выразить площадь треугольника через его гипотенузу:

$S=\frac{1}{2}ab=\frac{b^2-a^2}{4}$ $S=\frac{(b-a)(b+a)}{4}$ $S=\frac{(b+a)(b-a)}{4}$ $S=\frac{c(b-a)}{4}$

С другой стороны, площадь треугольника также может быть выражена через радиус вписанной окружности $r$ и полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$:

$S=rp=\frac{1}{2}ab$ $r=\frac{ab}{p}$ $r=\frac{ab}{\frac{a+b+c}{2}}$ $r=\frac{2ab}{a+b+c}$

Теперь мы можем подставить выражение для $ab$:

$r=\frac{2\cdot\frac{b^2-a^2}{2}}{b+a+c}$ $r=\frac{b^2-a^2}{a+b+c}$

Подставляя значения $a=2$ и $b=3$, получаем:

$r=\frac{3^2-2^2}{2+3+c}$ $r=\frac{5}{c+5}$

Осталось найти значение $c$:

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

И, наконец, подставить значение $c$:

$$$$