Question

Для натурального числа a b c известно что 9c=3a+b. Докажите, что число аbc делится на 7​

Answer 1

Ответ:

100а+10в+с=100а+(9с-3а)*10+с=70а+91с=7*(10а+13с) т.е делится на 7, что и требовалось.

Answer 2

Для того, чтобы доказать, что число abc делится на 7, нужно показать, что остаток от деления abc на 7 равен нулю.

Заметим, что число 9c делится на 3. Поэтому, если мы докажем, что 3 делит число a+b+c, то сможем заключить, что 7 делит abc.

Из уравнения 9c=3a+b следует, что b=9c-3a. Подставляя это выражение в уравнение a+b+c=3c, получаем:

a + (9c - 3a) + c = 3c

Раскрывая скобки и преобразуя выражение, получаем:

7a = 2c

Так как числа a и c являются натуральными, то они должны быть нечётными или чётными одновременно. Если оба числа чётные, то сократим на 2, чтобы получить нечётные числа. Если же оба числа нечётные, то сумма a+b+c будет чётной, а значит, a+b+c не делится на 3. Следовательно, a и c должны быть чётными.

Пусть a=2x и c=2y, тогда 7a=2c примет вид:

14x = 4y

Из этого выражения следует, что 7x = 2y. Так как x и y также являются натуральными числами, то они тоже должны быть чётными.

Таким образом, мы доказали, что a, b и c являются чётными числами. Поэтому, abc будет кратно 227=28, и следовательно, abc делится на 7.