Question

Доказать, что если число а делится на 2 и на 3, то а делится на 6. (подробно).

Answer 1

Если число "а" делится на 2 и на 3, то "а" делится на 6.

Доказательство.

Воспользуемся следующей теоремой арифметики: если произведение целых положительных множителей , отличных от 1 , делится на простое число "р" , то хотя бы один множитель делится на "р" .

По условию число "а" делится на 2, поэтому существует такое целое число q, что  а=2q .  Но целое число  а=2q  по условию делится ещё и на 3 . Произведение двух множителей 2  и  q  делится на 3, значит по указанной теореме , либо 2 делится на 3, либо q делится на 3 . Но 2 на 3 нацело не делится, значит q  делится на 3 . Поэтому можно записать:  q=3q₁  , где  q₁ - целое число .

Следовательно,  a=2·q=2·3q₁=6·q₁ . Из полученного равенства следует делимость числа  "а" на 6 .

Answer 2

Для доказательства данного утверждения необходимо использовать определение деления.

Определение деления: Число a делится на число b, если существует такое число c, что a = b*c.

Пусть число а делится на 2 и на 3. То есть, существуют такие целые числа k и l, что a = 2k и a = 3l.

Нам нужно доказать, что a делится на 6, то есть, существует такое целое число m, что a = 6*m.

Заметим, что 2 и 3 взаимно просты, то есть, у них нет общих делителей, кроме 1. Это следует из того, что 2 и 3 - простые числа.

Поэтому, чтобы найти число m, мы можем просто умножить k на 3 и умножить l на 2. Тогда получим:

a = 2k = 2(3*(l/2)) = 6l = 6(2*(k/3)) = 6*m,

где m = 2*(k/3) = 3*(l/2) - целое число.

Таким образом, мы доказали, что если число а делится на 2 и на 3, то оно также делится на 6.