Question

Очень нужно. Пункт б обязательно! а) Sin x / cos^2 (x/2)=4sin^2(x/2) б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-4П; -5П/2]

Answer 1

Решение приложено

===========================================================

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение:

Answer 3

Начнем с доказательства уравнения (а):

Для начала, заметим, что:

cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2)

Тогда знаменатель в левой части равенства (а) можно переписать как:

cos^2(x/2) = (1 + cos(x))/2

Заменим это выражение в исходном уравнении и получим:

sin(x) / ((1 + cos(x))/2) = 4sin^2(x/2)

Упрощаем:

2sin(x) = 4sin^2(x/2)(1 + cos(x))

Далее, заметим, что:

2sin(x) = 4sin(x/2)cos(x/2)

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

4sin(x/2)cos(x/2) = 4sin^2(x/2)(1 + cos(x))

Упрощаем:

cos(x/2) = 2sin(x/2)(1 + cos(x))

Заменяем cos(x/2) в правой части уравнения на выражение из первого шага, получаем:

sqrt((1 + cos(x))/2) = 2sin(x/2)(1 + cos(x))

Возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные слагаемые:

(1 + cos(x))/2 = 4sin^2(x/2)(1 + cos(x))^2

Упрощаем:

1 + cos(x) = 8sin^2(x/2)(1 + cos(x))^2

Разделим обе части на (1 + cos(x))^2:

1 / (1 + cos(x)) = 8sin^2(x/2)

Умножим обе части на cos^2(x/2):

sin(x) / cos^2(x/2) = 8sin^3(x/2)

Теперь можно заменить 8sin^3(x/2) на 4sin^2(x/2), используя тот факт, что sin(x/2) > 0 на интервале (-π, π):

sin(x) / cos^2(x/2) = 4sin^2(x/2)

Таким образом, мы доказали исходное уравнение (а).

Теперь перейдем к решению уравнения (б). Подставляем x = -4π и x = -5π/2 в исходное уравнение:

sin(-4π) / cos^2(-2π) = sin(2π) / cos^2(π) = 0

sin(-5π/2) / cos^2(-5π/4) = sin(-5π/4) / cos^2(-5π/4) = -1

Таким образом, корнем уравнения на интервале [-4π, -5π/2] является только x = -5π/2.

Ответ: корень уравнения на интервале [-4π, -5π/2] равен x = -5π/2.