Question

1) Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длины 9см и 6см. Найти площадь данного треугольника. 2) Второй член арифметической прогрессии равен 20, а пятый член равен 11. Найдите сумму пятого и шестого членов прогрессии.3) Решите неравенство 3 / x^2 - 1 >= 1 и укажите число целочисленных решений.

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

1. Обозначим точку касания окружности с гипотенузой как $M$, а точки, где окружность касается катетов, как $P$ и $Q$. Так как окружность вписана в прямоугольный треугольник, то точка касания $M$ является серединой гипотенузы, а также серединой отрезка $PQ$. Поэтому отрезки $MP$ и $MQ$ имеют одинаковую длину, которая равна радиусу вписанной окружности. Обозначим эту длину как $r$.

Тогда мы знаем, что $MP = MQ = r$, $PM = 6$, и $QM = 9$. По теореме Пифагора в треугольниках $MPQ$ и $PMQ$ можно выразить длины катетов:

$\begin{aligned} PQ^2 &= 2r^2 \\ PM^2 &= r^2 - 36 \\ QM^2 &= r^2 - 81 \end{aligned}$

Сложим уравнения для $PM^2$ и $QM^2$ и подставим выражение для $PQ^2$:

$(r^2 - 36) + (r^2 - 81) = 2r^2$

Упростим:

$2r^2 - 117 = 0$

Отсюда получаем, что $r = \sqrt{\frac{117}{2}}$. Теперь мы можем выразить площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$

$r = \sqrt{\frac{117}{2}}$

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника, используя формулу $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ - катеты:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27$

Ответ: площадь данного прямоугольного треугольника равна 27 квадратных сантиметров.

2. Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a$, а разность - как $d$. Тогда по условию задачи $a + d = 20$ и $a + 4d = 11$. Решим систему уравнений относительно $a$ и $d$:

$\begin{aligned} a + d &= 20 \\ a + 4d &= 11 \end{aligned}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$3d = -9$

Тогда $d = -3$, а из первого уравнения получаем, что $a =