Question

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD наклонен к площади основания под. углом альфа, тангенс которого равен 2. Через точку N ребра AS параллельно плоскости BSD проведен срез, который дельт площадь основы в соотношении 1:7. Найдите объём пирамиды, если площадь среза равна 12,5 см^2

Answer 1

/////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Для начала найдем длину бокового ребра пирамиды. Обозначим ее через l.

Из условия задачи известно, что тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания равен 2. Тогда мы можем записать:

tan(alpha) = 2 = l / h,

где h - высота боковой грани пирамиды. Из этого уравнения мы можем выразить длину бокового ребра:

l = 2h.

Теперь рассмотрим срез, проходящий через точку N и параллельный плоскости BSD. Площадь среза можно выразить через площадь основания пирамиды и расстояние между плоскостью среза и основанием пирамиды. Обозначим это расстояние через d.

Так как срез делит основание пирамиды в соотношении 1:7, то площадь верхней части основания равна S/8, а площадь нижней части основания равна 7S/8, где S - площадь основания пирамиды. Из геометрических соображений можно заметить, что высота среза равна h - d. Тогда площадь среза можно выразить следующим образом:

12.5 см^2 = (7S/8) * (h - d).

Используя выражение для длины бокового ребра, можно выразить h через l:

h = sqrt(l^2 - (S/2)^2).

Подставляем выражение для h в уравнение для площади среза и получаем уравнение относительно d:

12.5 см^2 = (7S/8) * (sqrt(l^2 - (S/2)^2) - d).

Решая это уравнение относительно d, получаем:

d = sqrt(l^2 - (S/2)^2) - 25/(14S) * S.

Теперь мы можем выразить объем пирамиды через S и l:

V = (1/3) * S * l = (1/3) * S * 2h = (2/3) * S * sqrt(l^2 - (S/2)^2).

Подставляем найденное значение d и получаем:

V = (2/3) * S * sqrt((2h)^2 - (S/2)^2 + 25/49).

Теперь осталось только подставить известные значения и вычислить объем:

V = (2/3) * S * sqrt((4h^2 - S^2) + 25/49) = (2/3) * 36 * sqrt