Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4 - x^2, y=3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Дано: F(x) = -x² + 4,  y(x)= 3

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков: F(x)=y(x).

x² - 1=0 - квадратное уравнение

х = √1 = ± 1.

b = 1 - верхний предел, a = -1 - нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций. Прямая выше параболы.

s(x) =  y(x) - F(x) = 1 - x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

S(x) = x  -1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = S(-1) = -1 + 0,33 = -0,67  (-2/3)

S(b) = S(1) = 1  - 0,33 = 0,67   (2/3)

 S = S(1)- S(-1)  = 1,34(ед.²) - площадь - ответ   (1 1/3)

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Сначала необходимо найти точки пересечения двух графиков. Приравняв уравнения, получим:

4 - x^2 = 3

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, точки пересечения графиков находятся в точках (-1,3) и (1,3).

Затем нужно определить границы интегрирования по оси x, что можно сделать, найдя точки экстремума функции y = 4 - x^2.

y' = -2x

Точки экстремума находятся в точках, где y' = 0:

-2x = 0

x = 0

Таким образом, точка экстремума находится в точке (0,4).

Можно заметить, что график функции y = 4 - x^2 симметричен относительно оси y, поэтому можно вычислить площадь фигуры, ограниченной этой функцией и горизонтальной прямой y = 3, как удвоенную площадь фигуры, ограниченной функцией y = 4 - x^2 на отрезке [-1, 1].

Интегрируя функцию y = 4 - x^2 на отрезке [-1, 1], получим:

∫[-1,1] (4 - x^2) dx = [4x - (1/3)x^3]_[-1,1] = 8/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной функциями y = 4 - x^2 и y = 3 равна 2 * (8/3 - 3) = 4/3.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной функциями y = 4 - x^2 и y = 3 равна 4/3.