Question

если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число. найти это число.

Answer 1

9/Задание № 3:

Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7. Если затем взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число. Найти это число.

РЕШЕНИЕ: Пусть число АВ=10a+b. Тогда:

Если двухзначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 3 и в остатке 7.

10a+b=3(a+b)+7

10a+b=3a+3b+7

7a=2b+7

2b=7a-7

b=7(a-1)/2

Если взять сумму квадратов цифр этого числа и вычесть из нее произведение тех же цифр, то получится первоначальное число.

a^2+b^2-ab=10a+b

Подставляем b:

a^2+(7(a-1)/2)^2-a*7(a-1)/2=10a+7(a-1)/2

a^2+49(a-1)^2/4-7a(a-1)/2=10a+7(a-1)/2

4a^2+49(a-1)^2-14a(a-1)=40a+14(a-1)

4a^2+49a^2-98a+49-14a^2+14a=40a+14a-14

39a^2-138a+63=0

13a^2-46a+21=0

D1=23^2-13*21=256

a=(23+16)/13=3, b=7*(3-1)/2=7

a=(23-16)/13=7/13 - не цифра

ОТВЕТ: 37

Answer 2

Пусть число, которое нужно найти, имеет вид AB, где A и B - цифры числа. Из условия задачи известно, что:

AB / (A + B) = 3 и остаток равен 7.

Из уравнения деления следует, что AB = 3(A+B) + 7. Раскрывая скобки, получаем AB = 3A + 3B + 7. Переносим все слагаемые с AB в левую часть уравнения и получаем:

AB - 3A - 3B - 7 = 0

Теперь выражаем AB через A и B:

AB = 3A + 3B + 7

Заметим, что второе уравнение из условия задачи можно записать в виде:

A^2 + B^2 - AB = AB / (A + B)

Из первого уравнения следует, что AB = 3(A+B) + 7. Подставляем это выражение во второе уравнение и упрощаем:

A^2 + B^2 - (3A + 3B + 7) = (3A + 3B + 7) / (A + B)

Переносим все слагаемые в левую часть:

A^2 - 3A + B^2 - 3B - AB - 7 = 0

Заменяем AB на выражение из первого уравнения:

A^2 - 3A + B^2 - 3B - 3A - 3B - 7 = 0

Сокращаем:

A^2 - 6A + B^2 - 6B - 7 = 0

Добавляем 16 к обеим сторонам уравнения, чтобы преобразовать левую часть в полный квадрат:

A^2 - 6A + 9 + B^2 - 6B + 9 - 7 - 16 = 0

(A-3)^2 + (B-3)^2 = 33

Из этого уравнения видно, что сумма квадратов цифр числа AB равна 33. Так как A и B - цифры, они могут быть только 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Попробуем подставить различные значения A и B и проверить, какие из них удовлетворяют уравнению (A-3)^2 + (B-3)^2 = 33. Находим, что единственное решение этого уравнения, где A и B - цифры, это A=5 и B=2.

Таким образом, искомое число AB равно 52.