Question

Цього року бабуся, її дочка і внучка зауважили, що сума їхніх віків дорівнює 100 років.Вік кожної з них є степенем числа 2. Скільки років внучці?

Answer 1

Степені числа 2 з ненульовим цілим показником і не більші 100 це числа
1,2,4,8,16,32,64
cума трьох не може не більшою за 32
інакше 32+32+32<100
значить хоча б одна (бабуся) має 64 роки
залишається розподілити 100-64=36
перебором бачимо що підходять
36-1=35 ні
36-2=25 ні
36-4=32 так (4 внучка, 32 дочка)
36-8=28 ні
36-16=20 ні
36-32=4 (розглянуто)

отже відповідь, бабусі 64, дочці 32: внучці 4

Answer 2

Позначимо вік бабусі як х. Оскільки вік кожної з них є степенем числа 2, то вік дочки дорівнює 2^y, а вік внучки - 2^z для деяких цілих чисел y та z.

Ми знаємо, що х + 2^y + 2^z = 100.

Оскільки х - вік бабусі, а вік будь-якої людини не може бути меншим за 1, то х ≥ 1. Додамо 1 до обох боків рівняння:

x + 1 + 2^y + 2^z = 101.

Якщо y ≥ z + 2, то 2^y ≥ 2^(z+2) = 4*2^z. Але тоді ми маємо:

x + 1 + 2^y + 2^z < x + 1 + 42^z + 2^z = (x + 5)2^z ≤ 1002^z.

Отримали суперечність, оскільки ліва частина нерівності менша за праву, а тому y < z + 2.

Аналогічно, якщо y ≤ z - 2, то ми маємо:

x + 1 + 2^y + 2^z < x + 1 + 2^y + 2^(y+2) = (x + 17)2^y ≤ 100*2^y.

Це знову суперечність, оскільки ліва частина нерівності менша за праву, а тому y > z - 2.

Отже, ми знаємо, що y = z - 1 або y = z.

Якщо y = z - 1, то ми маємо:

x + 1 + 2^y + 2^z = x + 1 + 2^(z-1) + 2^z = x + 1 + 3*2^z = 100.

Звідси ми маємо x = 96 - 3*2^z. Оскільки x ≥ 1, то ми можемо перевірити всі можливі значення z від 1 до 6 і перевірити, чи відповідає відповідний x умові x ≥ 1. Ми знаходимо, що єдине можливе значення z = 5. Тоді x = 3 і y = 4. Отже, вік внучки дорівнює 2^4 = 16 років.

Якщо y = z, то ми маємо