Question

по кругу расставлены числа от 1 до 27 в случайном порядке. докажите, что сумма некоторых трёх подряд стоящих чисел не меньше 42

Answer 1

27+27=54    54-42=12 чисел приведут к ответу 42

Answer 2

Предположим, что существует такая расстановка чисел, что сумма любых трех подряд стоящих чисел меньше 42. Рассмотрим сумму всех 27 троек подряд стоящих чисел:

scssCopy code
(1 + 2 + 3) + (2 + 3 + 4) + ... + (25 + 26 + 27)

Каждое число от 2 до 26 будет участвовать в сумме дважды, поскольку встречается в двух тройках. Числа 1 и 27 участвуют только в одной тройке каждое. Тогда сумма всех троек равна:

scssCopy code
2(2 + 3 + ... + 26) + 1 + 27 = 2(325) + 28 = 678

Таким образом, сумма всех троек равна 678. Но мы предположили, что сумма любых трех подряд стоящих чисел меньше 42, тогда каждая из 26 троек вида (2, 3, 4), (3, 4, 5), ..., (25, 26, 27) должна иметь сумму, меньшую 42, то есть их суммарная сумма не может быть меньше 26 * 42 = 1092. Это противоречит тому, что сумма всех троек равна 678, следовательно, предположение о расстановке чисел было неверным, и существует тройка чисел, сумма которых не меньше 42.