Question

Найти S правильного треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4?

Answer 1

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен отношению его стороны к 2*(корень из трёх (далее буду обозначать как -/(3))), то есть: r=a/(2*(-/3)).
Следовательно, зная радиус, мы можем найти сторону: a=r*2*-/(3).
a=8-/(3).
Площадь S равностороннего треугольника (или правильного треугольника) равна ((a^2)*-/(3))/4.
Следовательно, S=(((8-/(3))^2)*-/(3))/4.
S=(64*3*-/(3))/4.
S=48*-/(3).
Ответ: 48*-/(3) - сорок восемь корней из трёх.
P. S.: чтобы было понятнее, постараюсь все вычисление прислать фотографией.

Answer 2

Пусть ABC - правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Тогда радиус вписанной окружности равен r = R/2.

Из свойств правильного треугольника известно, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности. Значит, высота треугольника, проведенная из вершины A, является и медианой и биссектрисой угла A.

Пусть AD - высота треугольника, проведенная из вершины A, и M - точка касания вписанной окружности со стороной BC.

Тогда AM является медианой треугольника ABC и BM является медианой треугольника ABM.

Из прямоугольного треугольника ADM следует, что:

AD^2 = AM^2 - MD^2

Так как треугольник ABM равнобедренный, то MD = BM - r.

Из прямоугольного треугольника ABM следует, что:

BM^2 = AM^2 - r^2

Заменяем MD на BM - r в первом уравнении и подставляем второе уравнение вместо BM^2:

AD^2 = AM^2 - (BM - r)^2

AD^2 = AM^2 - BM^2 + 2BM*r - r^2

AD^2 = 3BM^2 - 4r^2

Так как BM является медианой в треугольнике ABM, то BM = (1/2)*AC. Заменяем в последнем уравнении BM на (1/2)*AC:

AD^2 = 3*(1/4)AC^2 - 44^2

AD^2 = (3/4)*AC^2 - 64

С другой стороны, из свойств правильного треугольника следует, что AC = 2Rsqrt(3). Заменяем в последнем уравнении AC на это значение:

AD^2 = 34R^2 - 64

AD^2 = 12*R^2 - 64

Из равенства треугольников ADM и ADB следует, что BD = CD = AC/2 = 2Rsqrt(3).

Так как треугольник ABD является прямоугольным, то:

AD^2 + BD^2 = AB^2

Подставляем известные значения:

AD^2 + (2Rsqrt(3))^2 = (2*R)^2

AD^2 = 4R^2 - 12R^2

AD^2 = -8*R^2

Полученное уравнение не имеет реальных решений, так как AD - это длина отрезка, который не может быть отрицательным. Значит, данное условие