Question

Площади подобных треугольников относятся как 9:16, а сумма их периметров равна 280 см. Найти периметр большего треугольника

Answer 1

K - коеффициент пропорциональности
9/16 = k^2
k = 3/4
P - периметр одного треугольника => 3/4 P - периметр второго
P+3/4 P = 280
7/4 P = 280
P = 160 - периметр одного
280 - 160 = 160 * 3/4 = 120 - периметр второго

Answer 2

Пусть меньший треугольник имеет стороны a и b, а больший треугольник имеет стороны 3k и 4k, где k - некоторая константа.

Так как площади треугольников относятся как 9:16, то

(a * b)/2 : (3k * 4k)/2 = 9 : 16

Упрощая это выражение, получим

ab : 24k^2 = 9 : 16

ab = (9/16) * 24k^2

ab = 27/4 * k^2

Также из условия задачи известно, что периметры треугольников составляют 280 см:

a + b + c = 280

3k + 4k + c = 280

7k + c = 280

c = 280 - 7k

Теперь мы можем выразить b через a и k, используя формулу для площади:

b = (27/4 * k^2) / a

Так как мы знаем, что треугольники подобны, то соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому:

b : 4k = a : 3k

b = (4/3)ak

Теперь мы можем выразить b через k:

b = (4/3)ak = (4/3) * (27/4 * k^2) / a = (9k^2) / a

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

c = 280 - 7k

b = (9k^2) / a

Используя уравнение для периметра, можно выразить a через k:

a + b + c = 280

a + (9k^2) / a + 280 - 7k = 0

Переносим все на одну сторону:

a^2 - 7ka + (9k^3)/4 + 70k - 280a = 0

Решая это квадратное уравнение относительно a, получим:

a = (7k ± √(49k^2 - 4(9k^3/4 + 70k - 280))) / 2

a = (7k ± √(49k^2 - 27k^3 - 280k + 1120)) / 2

Теперь мы можем найти периметр большего треугольника:

P = 3k + 4k + c = 7k + (280 - 7k) = 280

Ответ: периметр большего треугольника равен 280 см.