Question

СОС! 1)Решите уравнение: cos^2(П-4x)-sin(П-4x)=1 2)Решите уравнение: cos6x=cos3x-sin3x 3)Решите уравнение: sin x\4=sin^2 x\16-cos^2 x\16

Answer 1

1) Решите уравнение: cos^2(П-4x)-sin(П-4x)=1;
1 -cos²(π-4x)+sin(π -4x)=0 ;
sin² (π-4x)+sin(π -4x)=0 ;
sin²4x + sin 4x=0 ;
(sin4x+1)sin4x=0⇔[sin4x = -1 ; sin4x=0. ⇒[4x =-π/2+2πk ;4x=πk ,k∈Z.
[ x= -π/8+πk/2 ;x=πk/4 ,k∈Z.
-------
2 ) Решите уравнение: cos6x=cos3x-sin3x ;
cos2*3x =cos3x-sin3x ;
cos²3x-sin²3x  = c os3x-sin3x ;
(cos3x-sin3x)(cos3x+sin3x) =   c os3x-sin3x ;
(cos3x-sin3x)(cos3x+sin3x) - ( c os3x-sin3x) =0 ;
(cos3x-sin3x)(cos3x+sin3x -1) =0.⇔[cos3x-sin3x =0 ; c os3x+sin3x -1 =0.
[sin3x=cos3x ; cos3x+sin3x =1. ⇔ [tq3x=1 ; √2*cos(3x-π/4) =1.⇒
⇔ [tq3x=1 ; cos(3x-π/4) =1/√2 .
⇒ [3x =π/4+πk ; 3x-π/4 =±π/4+2πk ,k∈Z.  
[3x =π/4+πk ; 3x=2πk , 3x =π/2+2πk , k∈Z .
[x =π/12 + πk/3 ; x=2πk/3 ; x =π/6+2πk/3 ,  k∈Z 
-------
3) Решите уравнение: sin x\4=sin^2 x\16-cos^2 x\16
 sin 2*(x\8)+(cos² x\16-sin² x\16) =0 ;
2sin(x\8)*cos(x\8) +cos2*(  x\16) =0 ;
2cos(x\8)*(sin(x\8) +1/2) =0⇔[cos(x\8)=0 ;sin(x\8)  = -1/2.
[ x\8=π\2 +πk ; x\8 =(-1)^(k+1) *π\6 +πk , k∈Z.
[x =4π +8πk ; x =(-1)^(k+1) *4π\3 +8πk , k ∈Z.

Answer 2

1
cos^2(П-4x)-sin(П-4x)=1
сos²4x-sin4x=1
1-sin²4x-sin4x-1=0
-sin²4x-sin4x=0
-sin4x(sin4x+1)=0
sin4x=0⇒4x=πn,n∈z⇒x=πn/4,n∈z
sin4x=-1⇒4x=-π/2+2πk,k∈z⇒x=-π/8+πk/2,k∈z
2
cos6x=cos3x-sin3x
cos²3x-sin²3x= cos3x-sin3x
(cos3x-sin3x)(cos3x+sin3x)-( cos3x-sin3x)=0
(cos3x-sin3x)( cos3x+sin3x-1)=0
cos3x-sin3x=0/cos3x
1-tg3x=0
tg3x=1⇒3x=π/4+πn,n∈z⇒x=π/12+πn/3,n∈z
cos3x+sin3x-1=0
cos²3x/2-sin²3x/2+2sin3x/2cos3x/2-sin²3x/2-cos²3x/2=0
2sin3x/2cos3x/2-2sin²3x/2=02sin3x/2*(cos3x/2-sin3x/2)=0
sin3x/2=0⇒3x/2=πk⇒c=2πk/3,k∈z
cos3x/2-sin3x/2=0/cos3x/2
1-tg3x/2=0⇒tg3x/2=1⇒3x/2=π/4+πm,m∈z⇒x=π/6+2πm/3,m∈z
3
sin x\4=sin^2 x\16-cos^2 x\16
sinx/4=-cosx/8
2sinx/8cosx/8+cosx/8=0
cosx/8(2sinx/8+1)=0
cosx/8=0⇒x/8=π/2+πn,n∈z⇒x=4π+8πn,n∈z
sinx/8=-1/2⇒x/8=(-1)^(k+1)*π/6+πk,k∈z⇒x=(-1)^(k+1)*4π/3+8πk,k∈z

Answer 3

1. Решение уравнения:

Используем тригонометрические тождества: cos^2(П-4x) = sin^2(4x) sin(П-4x) = sin(4x-П)

Тогда исходное уравнение примет вид: sin^2(4x) - sin(4x-П) = 1

Приводим подобные члены и заменяем sin(4x-П) на -sin(4x): sin^2(4x) + sin(4x) - 1 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно sin(4x): sin(4x) = (-1 ± √5) / 2

Решаем уравнения для каждого значения sin(4x): a) sin(4x) = (-1 + √5) / 2 sin(4x) = sin(180° - 36.87°) 4x = n·360° - 36.87° или 4x = n·360° + 36.87° x = (n·90° - 9.22°) / 2 b) sin(4x) = (-1 - √5) / 2 sin(4x) = sin(36.87° - 180°) 4x = n·360° + 36.87° или 4x = n·360° + 143.13° x = n·90° + 9.22° / 2 или x = n·90° + 35.78° / 2

Ответ: x = (n·90° - 9.22°) / 2 или x = n·90° + 9.22° / 2 или x = n·90° + 35.78° / 2, где n - любое целое число.

2. Решение уравнения:

Применяем тригонометрические тождества: cos6x = cos3x·cos3x + sin3x·sin3x - 2·sin3x·cos3x

Подставляем значения исходного уравнения: cos3x·cos3x + sin3x·sin3x - 2·sin3x·cos3x = cos3x - sin3x

Приводим подобные слагаемые и сводим к квадратному уравнению: cos3x·cos3x - cos3x + sin3x·sin3x + sin3x - 1 = 0

Выражаем sin3x через cos3x, используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1: cos3x·cos3x - cos3x + (1 - cos3x·cos3x)^(1/2) + (1 - cos3x·cos3x)^(-1/2) - 1 = 0

Обозначим t = cos3x, тогда уравнение примет вид: t^2 - t + (1 - t^2)^(1/2) + (1 - t^2)^(-1/2) - 1 = 0

Реш