Question

Какими должны быть p и q, чтобы уравнение x²+px+q=0 имело корнями числа p и q?

Answer 1

P^2+p^2+q=0
q^2+pq+q=0

q=-2p^2

(-2p^2)^2-2p^3-2p^2=0
4p^4-2p^3-2p^2=0
2p^2(2p^2-p-1)=0
p=0, q=0
или p=1 q=-2
или p=-0.5 q=-0.5
Таким образом мы имеем три пары чисел p и q. Проверяем: для p=1 q= -2, уравнение имеет вид x^2+x-2=0, которое действительно имеет корни x=1 и x=-2, для случая p=q=0, два корня совпадают и также равны нулю. А вот для p=-0.5 q=-0.5 получаем уравнение x^2-0.5x-0.5=0, корни которого x=1 и x=-0.5=> этот ответ исключаем. Таким образом подходят пары чисел p=q=0 и p=1 q=-2

Answer 2

Уравнение x²+px+q=0 имеет корнями числа p и q, если и только если оно представимо в виде произведения линейных множителей вида (x-p)(x-q), то есть:

x²+px+q = (x-p)(x-q)

Раскрывая скобки, получим:

x²+px+q = x² - (p+q)x + pq

Следовательно, для уравнения x²+px+q=0 имеющего корнями числа p и q, должны выполняться следующие условия:

p + q = -p pq = q

Откуда следует, что:

p = -q q(p-1) = 0

Таким образом, возможны два варианта:

1. p=0 и q=0, в этом случае оба корня равны 0.
2. p=-q и q может быть любым ненулевым числом, в этом случае корнями будут числа p и q.

Итак, ответ: p=-q, где q - любое ненулевое число.