Question

Буратино заметил, что на денежном дереве каждую неделю удваивается количество монет. Через 23 недели Буратино собрал с дерева мешок монет. Через сколько недель Буратино смог бы собрать 4 мешка, если бы у него было 2 денежных дерева?

Answer 1

Через 24 недели.

Решение 1. В любой момент времени на двух деревьях вдвое больше монет, чем на одном. Поэтому через 23 недели на двух деревьях будет 2 мешка монет. Через неделю количество монет удвоится, и можно будет собрать 4 мешка монет.

Решение 2. Суммарное количество монет увеличивается вдвое каждую неделю вне зависимости от количества деревьев. Поэтому можно думать, что добавление ещё одного дерева просто раньше времени удваивает количество монет, с самого начала было монет столько, сколько было бы через неделю при одном дереве.Тогда через неделю на двух деревьях будет столько же, сколько на одном дереве через две недели, через две недели — столько же, сколько было через три недели, и т.д. Тогда полный мешок наберётся на неделю раньше, через 22 недели, через 23 недели будет два мешка, а через 24 недели — четыре.

Answer 2

Из условия задачи следует, что каждую неделю количество монет на денежном дереве удваивается. Таким образом, если в начале первой недели на дереве была одна монета, то к концу первой недели на дереве будет 2 монеты (удвоилось), к концу второй недели - 4 монеты (удвоилось еще раз), к концу третьей недели - 8 монет и т.д.

Чтобы решить задачу, мы можем использовать формулу для геометрической прогрессии, где первый член равен 1 (количество монет в начале первой недели), а знаменатель равен 2 (удвоение количества монет каждую неделю):

S = a * (1 - q^n) / (1 - q),

где S - сумма денег на дереве через n недель, a - первый член прогрессии (1 монета), q - знаменатель (2), n - количество недель.

Таким образом, через 23 недели на дереве будет:

S = 1 * (1 - 2^23) / (1 - 2) = 8388607 монет.

Если у Буратино было бы два дерева, то он бы собирал в два раза больше монет каждую неделю, то есть количество монет на деревьях также удваивалось бы каждую неделю. Значит, через n недель на двух деревьях будет:

S = 2 * 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2) = 2^(n+1) - 2.

Таким образом, для того, чтобы собрать 4 мешка монет, Буратино должен собрать 4 * 8388607 = 33554428 монет. Решая уравнение 2^(n+1) - 2 = 33554428, получаем:

2^(n+1) = 33554430,

n+1 = log2(33554430),

n = log2(33554430) - 1,

n ≈ 24.09.

Таким образом, Буратино смог бы собрать 4 мешка монет через 24.09 недель на двух деревьях, что можно округлить до 25 недель.