Question

Найти точки экстремума и значение этих точках f(x)=x⁴-2x²+5

Answer 1

...................................

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции f(x) = x⁴ - 2x² + 5, найдем её производную по x:

f'(x) = 4x³ - 4x

Затем приравняем её к нулю, чтобы найти точки, где производная равна нулю:

4x³ - 4x = 0

4x(x² - 1) = 0

Таким образом, мы находим две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = ±1.

Чтобы определить, является ли каждая из этих точек экстремумом, воспользуемся второй производной:

f''(x) = 12x² - 4

Для точки x = 0:

f''(0) = -4

Поскольку вторая производная отрицательна в этой точке, мы можем заключить, что это точка максимума функции f(x).

Для точек x = ±1:

f''(±1) = 8

Поскольку вторая производная положительна в этих точках, мы можем заключить, что это точки минимума функции f(x).

Таким образом, точка максимума находится в x = 0 и равна f(0) = 5, а точки минимума находятся в x = ±1 и равны f(±1) = 4.

Итак, f(x) имеет максимум в точке (0, 5) и минимумы в точках (-1, 4) и (1, 4).