Question

В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол при стороне основания составляет 60° ,сторона основания-a. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Answer 1

Если угол при основании 60,то угол образованный высотой и апофемой 30.в основании 6-ка отрезок соединяющий центр и середину стороны основания будет равен радиусу вписанной окружности r=a*sqrt3/2 и лежит против угла 30.следовательно апофема в 2раза больше l=а*sqrt3,а высота по т.Пифагора = 3а/2

Answer 2

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и середину одной из боковых ребер основания. Такое сечение будет прямоугольным треугольником со сторонами $a/2$, $h$ и $f$, где $h$ - высота пирамиды, а $f$ - апофема (радиус вписанной в основание окружности).

Рассмотрим этот треугольник. Он разделен на два равнобедренных треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Пусть $x$ - расстояние от середины бокового ребра до центра вписанной окружности. Тогда по теореме Пифагора для одного из этих треугольников получаем:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = x^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2$

Также из угла $60^\circ$ следует, что $\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{f}{2x}$, откуда $f = 2x\sqrt{3}$.

Заметим, что треугольник, образованный высотой, боковым ребром и половиной основания, также является прямоугольным треугольником с углами $30^\circ$, $60^\circ$ и $90^\circ$. Значит,

$\tan 60^\circ = \sqrt{3} = \frac{h}{\frac{a}{2}}$

Откуда $h = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.

Теперь мы можем найти $x$ из уравнения, полученного выше:

$x^2 + \left(\frac{f}{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$(2x\sqrt{3})^2 + 4x^2 = a^2$

$12x^2 = a^2$

$x = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Теперь мы можем найти апофему:

$f = 2x\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

И высоту:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $f = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $h = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.