Question

Вычислите без таблиц и калькулятора sin16 + cos16 x tg37

Answer 1

$sin16+cos16\cdot tg37=sin16+cos16\cdot \frac{sin37}{cos37} =\\\\= \frac{sin16\cdot cos37+cos16\cdot sin37}{cos37} = \frac{sin(16+37)}{cos37} = \frac{sin53}{cos37} =\\\\= \frac{sin53}{cos(90-53)} = \frac{sin53}{sin53}=1$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать несколько тригонометрических тождеств.

Начнем с того, что заметим, что $\sin(16^\circ)$ и $\cos(16^\circ)$ могут быть выражены через $\sin(45^\circ \pm 16^\circ)$ и $\cos(45^\circ \pm 16^\circ)$ с помощью тригонометрических тождеств:

\sin(45^\circ + 16^\circ) &= \sin(45^\circ) \cos(16^\circ) + \cos(45^\circ) \sin(16^\circ)\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(16^\circ) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(16^\circ)\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(16^\circ) + \sin(16^\circ)) \end{aligned}$$ и $$\begin{aligned} \cos(45^\circ - 16^\circ) &= \cos(45^\circ) \cos(16^\circ) + \sin(45^\circ) \sin(16^\circ)\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(16^\circ) - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(16^\circ)\\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos(16^\circ) - \sin(16^\circ)). \end{aligned}$$ Теперь мы можем выразить $\sin(16^\circ)$ и $\cos(16^\circ)$ через $\sin(45^\circ + 16^\circ)$ и $\cos(45^\circ - 16^\circ)$: $$\begin{aligned} \sin(16^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\sin(45^\circ + 16^\circ) - \cos(45^\circ + 16^\circ)\right)\\ \cos(16^\circ) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\cos(45^\circ - 16^\circ) + \sin(45^\circ - 16^\circ)\right). \end{aligned}$$ Заметим также, что $\tan(37^\circ)$ может быть выражен через $\tan(45^\circ \pm 8^\circ)$: $$\begin{aligned} \tan(45^\circ + 8^\circ) &= \frac{\tan(45^\circ) + \tan(8^\circ)}{1 - \tan(45^\circ) \tan(8^\circ)}\\ &= \frac{1 + \tan(8^\circ)}{1 - \tan(8^\circ)}\\ \tan(45^\circ - 8^\circ) &= \frac{\tan(45^\circ) - \tan(8^\circ)}{1 + \tan(45^\circ) \tan(8^\circ)}\\ &= \frac{1 - \tan(8^\circ)}{1 + \tan(8^\circ)} \end{aligned}$$ Отсюда мы можем выразить $\tan(37^\circ)$: $$\begin{aligned} \tan(37^\circ) &= \frac{\tan(45