Question

В треугольнике ABC со сторонами AB = 6, BC = 4, AC = 8 на стороне AC отмечена такая точка M, что вписанные окружности треугольников ABM и BCM имеют общую точку. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Answer 1

Ответ:

5 : 3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Обозначим точку пересечения вписанных окружностей треугольников ABM и BCM как P. Заметим, что точка P является центром вписанной окружности треугольника BMC.

Так как BM является биссектрисой угла B в треугольнике ABC, то по теореме о биссектрисе площадь треугольника ABM можно выразить как

S(ABM) = (1/2)ABBM*sin(∠ABM)

Аналогично, для треугольника BCM:

S(BCM) = (1/2)BCBM*sin(∠CBM)

Заметим, что ∠ABM + ∠CBM = 180°, так как точка M лежит на стороне AC. Следовательно, sin(∠ABM) = sin(∠CBM), и мы можем выразить отношение площадей треугольников ABM и BCM:

S(ABM)/S(BCM) = AB/BC

Подставляя значения AB = 6 и BC = 4, получаем:

S(ABM)/S(BCM) = 6/4 = 3/2

Отношение площадей треугольников ABM и BCM равно 3/2.