Question

Найти угол наклона касательной к графику функции y(x)

Answer 1

Угол наклона касательной к графику функции определяется по его тангенсу, который равен производной функции в точке касания.

y' = (1/12)*3x².

Подставим значение х = 0,5.

y' = (1/12)*3*(0,5)² = (1/4)*(1/4) = 1/16.

Угол равен arc tg(1/16) = 0,06242 радиан или 3,5763 градуса.

Answer 2

Для того чтобы найти угол наклона касательной к графику функции y(x) в точке x=x0, нужно взять производную функции y(x) и вычислить ее значение в точке x=x0. Это значение и будет являться тангенсом угла наклона касательной.

Таким образом, если функция y(x) задана явно, то сначала нужно найти ее производную y'(x) и подставить в нее значение x=x0. Если же функция задана в параметрической форме, то нужно найти производную функции y по x и подставить в нее значение x=x0, а затем поделить полученное значение на производную функции x по параметру (обычно обозначаемую как dx/dt или dt/dx), вычисленную также в точке x=x0.

Например, если функция y(x) задана явно как y(x) = x^2 + 2x - 1, то ее производная равна y'(x) = 2x + 2. Угол наклона касательной в точке x=x0 можно вычислить как tg α = y'(x0), где α - угол наклона.

Если же функция задана параметрически, то предположим, что y(x) = f(x(t)) и x(t) = t^2 - t + 1, тогда y'(x) = f'(x(t)) * x'(t), где f'(x(t)) - производная функции f по x, вычисленная в точке x=x(t). Например, если f(x) = sin(x), то f'(x) = cos(x). Далее, вычисляем y'(x0) = f'(x(t0)) * x'(t0), где x(t0) = x0 и вычисляем x'(t) = 2t - 1, затем подставляем все значения и находим tg α = y'(x0) / x'(t0).