Question

Вычислить неопределенный интеграл:(x^2+2x-2)/(x^3-9x) dx

Answer 1

(2/9)*log(x)+(13/18)*log(x-3)+(1/18)*log(x+3)+C

Answer 2

Мы можем разложить дробь на простые дроби:

scssCopy code
(x^2 + 2x - 2)/(x^3 - 9x) = A/x + B/(x-3) + C/(x+3)

Для нахождения констант A, B и C мы можем умножить обе стороны уравнения на общий знаменатель x(x-3)(x+3) и раскрыть скобки:

scssCopy code
x^2 + 2x - 2 = A(x-3)(x+3) + Bx(x+3) + Cx(x-3)

Подставим значения x=0, x=3 и x=-3, чтобы найти константы:

makefileCopy code
x=0: -2 = -9A  =>  A=2/9
x=3: 15 = 18B  =>  B=5/6
x=-3: -15 = -18C  =>  C=5/6

Теперь мы можем выразить исходный интеграл через интегралы от простых дробей:

scssCopy code
(x^2 + 2x - 2)/(x^3 - 9x) = 2/9 * 1/x + 5/6 * 1/(x-3) + 5/6 * 1/(x+3)

Интеграл от первого слагаемого равен:

bashCopy code
∫(2/9 * 1/x) dx = (2/9) ln|x| + C1

Интеграл от второго и третьего слагаемых можно вычислить с помощью замены переменной u=x-3 (для второго слагаемого) и u=x+3 (для третьего слагаемого):

bashCopy code
∫(5/6 * 1/(x-3)) dx = 5/6 ln|x-3| + C2
∫(5/6 * 1/(x+3)) dx = 5/6 ln|x+3| + C3

Таким образом, окончательный ответ на задачу имеет вид:

scssCopy code
∫((x^2 + 2x - 2)/(x^3 - 9x)) dx = (2/9) ln|x| + (5/6) ln|x-3| + (5/6) ln|x+3| + C

где С = C1 + C2 + C3 - это произвольная постоянная интегрирования.