Question

Найти интеграл ∫36dx/3+4x^2

Answer 1

$\int \dfrac{36dx}{3+4x^2} = \frac{36}{3} \int \dfrac{dx}{1+( \frac{2}{ \sqrt3 } x)^2} = \frac{36}{3} \cdot\frac{\sqrt3}{2} \int \dfrac{d( \frac{2}{ \sqrt3 } x)}{1+( \frac{2}{ \sqrt3 } x)^2} =\\ = 6\sqrt3 arctg( \frac{2}{ \sqrt3 } x)+C.$

Answer 2

Для того чтобы решить данный интеграл, можно воспользоваться методом подстановки. Обычно выбирают такую подстановку, при которой исходный интеграл приводится к более простому виду.

Попробуем подставить в данном интеграле выражение u = 3 + 4x^2. Тогда du/dx = 8x, или dx = du/8x. Подставляя это выражение для dx и замену u, получим:

∫36dx / (3 + 4x^2) = ∫(36/8) * (du/u) = (9/2) ln |u| + C

Теперь нужно вернуться к исходной переменной x, заменив u на 3 + 4x^2:

(9/2) ln |3 + 4x^2| + C

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, окончательный ответ:

∫36dx / (3 + 4x^2) = (9/2) ln |3 + 4x^2| + C.