Question

В 6 классах было поровну детей, причем всего детей было меньше 70, но больше 25. При посещении музея их разделили на 5 групп, причем в 4 группах детей было поровну, а в пятой на одного человека больше, чем в каждой из остальных. Сколько всего было детей? Запишите решение и ответ.

Answer 1

в 6-ти кл ---- ? чел, но поровну
в 4-х -----------? чел, но поровну.
в 5-ой -------- ? чел, но на 1 больше.
всего ---------- ? чел, но >25 и <70
Решение.
    Когда из 6-ти классов с равным числом учеников сделали 5 групп, то фактически один класс разделили на 5 частей, добавив в 4 группы по равному числу, а в 5-ю на 1 чел больше.
   Остаток 1 про делении  на 5 дают числа 6, 11, 16, ..., 5n+1, где n - число натурального ряда.
    Всего было:
 6(5n+1) =  (30 n + 6) чел.  -----т.к. в каждом классе по условию равное число человек.
25 < 30n + 6 < 70 ----- по условию
19/30 <n < 64/30
   Т.к n - натуральное число, то нашему двойному неравенству удовлетворяет n=1 и n=2, т.е.
    30*1 + 6 = 36 чел. 
   30*2 + 6 = 66 чел.
Ответ: 36 или 66 человек было всего

Примечание. Для младших классов можно записать упрощенное решение:
5*1 + 1 = 6 (чел.) ---- могло быть  в каждом классе классе
6 * 6 = 36 (чел.) ------ могло быть всего
5*2 + 1 = 11 (чел.) --- могло быть в каждом классе
11 * 6 = 66 (чел.) ----- могло быть всего
5*3 +1 = 16 (чел) ----- могло быть в каждом классе
16 * 6 = 96 (чел) ------ не могло быть, т.к. противоречит условию
Ответ: 36 или 66 человек всего

Answer 2

Пусть в каждой из первых четырех групп было $x$ детей, тогда в пятой группе было $x+1$ детей. Всего детей в музее было $6x+1$, так как всего было шесть классов, и в каждом классе было поровну детей. Мы хотим найти значение $x$, которое является целым числом и позволяет получить число детей, находящееся между 25 и 70, включая граничные значения.

Попробуем перебирать значения $x$ начиная с $x=5$, потому что в первых четырех группах должно быть хотя бы по 5 детей. Если $x=5$, то всего детей в музее будет $6 \cdot 5 + 1 = 31$, что подходит под условие. Если $x=6$, то всего детей будет $6 \cdot 6 + 1 = 37$, тоже подходит. Если $x=7$, то всего детей будет $6 \cdot 7 + 1 = 43$, тоже подходит. Если $x=8$, то всего детей будет $6 \cdot 8 + 1 = 49$, тоже подходит. Если $x=9$, то всего детей будет $6 \cdot 9 + 1 = 55$, тоже подходит. Если $x=10$, то всего детей будет $6 \cdot 10 + 1 = 61$, тоже подходит. Если $x=11$, то всего детей будет $6 \cdot 11 + 1 = 67$, тоже подходит. Если $x=12$, то всего детей будет $6 \cdot 12 + 1 = 73$, что уже не подходит.

Таким образом, мы нашли, что количество детей в каждой из первых четырех групп было равно 5, 6, 7, 8, 9, 10 или 11. И только для $x=5$ и $x=6$ мы получаем число детей в музее, находящееся между 25 и 70. Значит, всего было 31 или 37 детей.

Ответ: В музее было 31 или 37 детей.