Question

Найдите сумму действительных корней уравнения (x^2+x+1)(x^2+x+2)=12 Пожалуйста с объяснениями

Answer 1

---------------------------

Answer 2

Начнем с разложения левой части уравнения:

(x^2+x+1)(x^2+x+2) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x + 2 = 12

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 3x - 10 = 0

Теперь заметим, что уравнение симметрично относительно замены x на -1-x. Это можно проверить подстановкой:

((-1-x)^2 + (-1-x) + 1)((-1-x)^2 + (-1-x) + 2) = (x^2+x+1)(x^2+x+2)

Таким образом, если x является корнем уравнения, то и -1-x тоже является корнем.

Поэтому все корни можно разделить на пары x_1 и -1-x_1, x_2 и -1-x_2, и т.д. В каждой паре сумма корней равна -1. Таким образом, если n - количество действительных корней уравнения, то n должно быть четным, и сумма корней равна -n/2.

Найдем количество действительных корней. Для этого можно построить график функции y = (x^2+x+1)(x^2+x+2) - 12 и посмотреть, сколько раз он пересекает ось x. Однако мы можем воспользоваться тем фактом, что уравнение симметрично, и заметить, что 0 является корнем уравнения. Действительно,

(0^2+0+1)(0^2+0+2) = 2 * 3 = 6 < 12,

а для x > 0 выполнено

(x^2+x+1)(x^2+x+2) > x^2 * x^2 = x^4,

что означает, что уравнение не может иметь положительных корней.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня: 0 и -1. Сумма корней равна -n/2 = -2/2 = -1.

Итак, сумма действительных корней уравнения (x^2+x+1)(x^2+x+2)=12 равна -1.