Question

Несколько мудрецоч построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих-не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть? Пожалуйстаа, срочно.

Answer 1

15. 
1 колпак такого же цвета, что 11. 2 = 12. 3 = 13. и т.д. иначе не будет выполняться условие для 10 подряд идущих мудрецов.
1 колпак того же цвета, что и второй иначе, не выполниться 2 условие. 2 того же цвета что и 3, и так далее. 
получается что первые 5 колпаков 1 цвета, а следующие 5 другого. (иначе, если 6 колпак был бы первого цвета, то 1 условие бы не выполнилось).
итого: первых 5 колпаков - одного цвета, вторые 5 - другого, третьи 5 - первого цвета. перебором доказываем, что 16 колпак невозможен. следовательно ответ - 15

Answer 2

Предположим, что всего было N мудрецов в колонне.

Рассмотрим первые 10 мудрецов. Из условия следует, что поровну должно быть мудрецов с белыми и черными колпаками. Предположим, что среди первых 10 мудрецов белые колпаки надело K мудрецов. Тогда черные колпаки надели (10-K) мудрецов.

Рассмотрим следующие 10 мудрецов, то есть мудрецов с 11-го по 20-й. Снова из условия следует, что поровну должно быть мудрецов с белыми и черными колпаками. Если в первых 10 мудрецах белые колпаки надели K мудрецов, то среди следующих 10 мудрецов белые колпаки будут надеты на (10-K) мудрецов. Тогда в первых 20 мудрецах белые колпаки будут надеты на K + (10-K) = 10 мудрецов и черные колпаки будут надеты на 10 - K + K = 10 мудрецов.

Продолжим этот процесс для всех мудрецов в колонне. Так как мы знаем, что среди любых 10 мудрецов поровну должно быть мудрецов с белыми и черными колпаками, то после каждых 10 мудрецов количество мудрецов с белыми колпаками будет увеличиваться на 5, а количество мудрецов с черными колпаками - уменьшаться на 5. Таким образом, через каждые 10 мудрецов количество мудрецов с белыми и черными колпаками будет меняться местами.

Рассмотрим теперь группы по 12 мудрецов. Из условия следует, что среди любых 12 мудрецов не может быть поровну мудрецов с белыми и черными колпаками. Рассмотрим группу из 12 мудрецов с номерами от N до N+11. Количество мудрецов с белыми колпаками в этой группе будет равно количеству мудрецов с черными колпаками только в том случае, если количество мудрецов с белыми и черными колпаками в предыдущей группе из 10 мудрецов было равным. Иначе количество мудрецов с белыми и черными колпаками в текущей группе