Question

В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Определите углы трапеции, если эта диагональ равна большему основанию.

Answer 1

острые при большом основании по 72, тупые при верхнем по 108.

см.рисунок.

Answer 2

Пусть $ABCD$ - равнобедренная трапеция, где $AB$ и $CD$ - основания, а $AD$ и $BC$ - боковые стороны. Пусть $AC$ - диагональ, которая является биссектрисой острого угла $\angle ACD$.

Так как $ABCD$ - равнобедренная трапеция, то $AB=CD$. По условию $AC=AB$, следовательно $AC=AB=CD$. Таким образом, получаем равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=AC=BC$.

Поскольку $AC$ является биссектрисой угла $\angle ACD$, то $\angle BCA = \frac{1}{2}\angle ACD$. Но так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $\angle BAC = \angle BCA$, следовательно, $\angle BAC = \frac{1}{2}\angle ACD$.

Так как $\angle ACD$ - острый угол, то $\angle BAC$ - острый угол, что означает, что треугольник $ABC$ является остроугольным. Следовательно, углы трапеции $ABCD$ равны $\angle ADB = \angle BCD = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle ADC < 90^\circ$ и $\angle BAC < 90^\circ$.

Итак, углы трапеции $ABCD$ равны: $\angle ADB = \angle BCD = 90^\circ$, $\angle ABC = \angle ADC = \alpha < 90^\circ$ и $\angle BAC = \frac{1}{2}(180^\circ - 2\alpha) = 90^\circ - \alpha$.