Question

В треугольнике abc угол a=3c. точка d на стороне bc обладает тем свойством что угол adc=2углу c . Доказать что ab+ad=bc

Answer 1

Продолжим отрезок BA за точку A и отложим на нем отрезок AE = AD. Заметим, что  ∠ EAC = 180 –  ∠ BAC = 180 – 3 ∠ C, поэтому треугольники ADC и AEC равны (по сторонам AC, AD = AE и углу между ними). Отсюда находим углы треугольника AEC:  ∠ AEC =  ∠ ADC = 2 ∠ C,  ∠ ACE =  ∠ C, т.е.  ∠ BCE = 2 ∠ C, поэтому треугольник BEC равнобедренный. Таким образом, AB + AD = AB + AE = BE = BC

Answer 2

Рассмотрим треугольник $ADC$. Из условия задачи известно, что угол $\angle ADC = 2\angle C$. Из суммы углов треугольника $ADC$ следует, что угол $\angle ACD = 180^\circ - \angle ADC - \angle C = 180^\circ - 2\angle C - \angle C = 180^\circ - 3\angle C$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Из условия задачи известно, что угол $\angle BAD = \angle A - \angle B = 3\angle C - \angle B$. Из суммы углов треугольника $ABD$ следует, что угол $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle B = 180^\circ - (3\angle C - \angle B) - \angle B = 180^\circ - 4\angle C + \angle B$.

Рассмотрим теперь треугольник $ABC$. Из суммы углов треугольника $ABC$ следует, что угол $\angle BAC = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 3\angle C - \angle B$. Заметим также, что угол $\angle ACD$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$, поэтому $\angle ACD = \angle BAC + \angle ABD = 180^\circ - 3\angle C - \angle B + 180^\circ - 4\angle C + \angle B = 360^\circ - 7\angle C$.

Таким образом, мы получили равенство между двумя углами треугольника $ADC$ и углами треугольника $ABC$:

$\angle ADC = 2\angle C = 360^\circ - 7\angle C = \angle ACD$

Это означает, что точка $D$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Обозначим радиус этой окружности через $R$. Тогда по формуле синусов для треугольника $ABC$:

$\frac{AB}{\sin\angle B} = \frac{BC}{\sin\angle C} = \frac{AC}{\sin\angle A} = 2R$

По формуле синусов для треугольника $ADC$:

$\frac{AD}{\sin\angle A} = \frac{CD}{\sin\angle C} = \frac{AC}{\sin\angle ADC} = \frac{AC}{\sin 2\angle C} = \frac{2R}{\sin 2\angle C}$

Таким образом, имеем:

$$$$