Question

Для каких пар ненулевых целых чисел m и n верно m(m-n)=n​

Answer 1

На самом деле мне в голову пришла только эта комбинация.

M = -2, N = -4

-2*(-2-(-4)) = -4

Answer 2

Мы можем переписать данное уравнение в виде квадратного уравнения относительно m:

$m^2 - mn - n = 0$

Применим формулу для решения квадратных уравнений:

$m_{1,2} = \frac{n \pm \sqrt{n^2 + 4n}}{2} = \frac{n \pm n\sqrt{1+4}}{2} = \frac{n \pm n\sqrt{5}}{2}$

Таким образом, ненулевые целые решения существуют только в том случае, если выражение под корнем является квадратом целого числа, то есть если $n^2 + 4$ является квадратом целого числа. Это возможно только для конечного числа $n$, так как разность соседних квадратов растет бесконечно быстро. Мы можем перебрать все возможные значения $n$ и проверить, является ли $n^2 + 4$ квадратом целого числа:

$n = 1: \quad n^2 + 4 = 5$, не является квадратом целого числа.

$n = 2: \quad n^2 + 4 = 8$, не является квадратом целого числа.

$n = 3: \quad n^2 + 4 = 13$, не является квадратом целого числа.

$n = 4: \quad n^2 + 4 = 20$, не является квадратом целого числа.

$n = 5: \quad n^2 + 4 = 29$, является квадратом целого числа ($29 = 5^2 + 2^2$).

Таким образом, единственное решение уравнения $m(m-n) = n$ в ненулевых целых числах - это $m=3, n=5$.