Question

(2x+3)^tgx ( вся скобка в степени tgx) , найти производную lnarcsin√1-x² (найти производную)

Answer 1

Я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Для первого выражения, используем правило дифференцирования сложной функции:

Пусть u = 2x + 3, тогда

(dy/dx) [(2x+3)^tgx] = (dy/du) [u^tgx] * (du/dx) + (dy/dx) [tgx] * ln(u) * u^tgx

Теперь нужно найти (dy/du) [u^tgx] и (dy/dx) [tgx].

(dy/du) [u^tgx] = tgx * u^tgx-1

(dy/dx) [tgx] = sec^2(x)

Таким образом,

(dy/dx) [(2x+3)^tgx] = tgx * (2x+3)^tgx-1 * 2 + sec^2(x) * ln(2x+3) * (2x+3)^tgx

Для второго выражения, используем правило дифференцирования обратной функции:

Пусть y = arcsin(sqrt(1-x^2)), тогда

sin(y) = sqrt(1-x^2) cos(y) * (dy/dx) [y] = -2x / (2*sqrt(1-x^2)) (dy/dx) [y] = -x / (sqrt(1-x^2) * cos(y))

Мы можем найти cos(y) используя тригонометрическое тождество sin^2(y) + cos^2(y) = 1:

cos(y) = sqrt(1 - sin^2(y)) = sqrt(1 - (1-x^2)) = sqrt(x^2) = |x|

Таким образом,

(dy/dx) [ln(arcsin(sqrt(1-x^2)))] = (dy/dx) [y] / (arcsin(sqrt(1-x^2))) = -x / (sqrt(1-x^2) * cos(y) * arcsin(sqrt(1-x^2))) = -x / (sqrt(1-x^2) * |x| * arcsin(sqrt(1-x^2))) = -1 / (sqrt(1-x^2) * arcsin(sqrt(1-x^2))) (если x ≠ 0)

Когда x = 0, функция arcsin(sqrt(1-x^2)) достигает своего максимального значения, поэтому ln(arcsin(sqrt(1-x^2))) не имеет производной в этой точке.